Đáp án:

 Vì AD bằng $\dfrac23$ AB và tam giác ACD và tam giác ABC có chung chiều cao nên diện tích hình tam giác ACD bằng $\dfrac23$ diện tích hình tam giác ABC.

Diện tích hình tam giác ACD là:

          $30\times\dfrac23=20$ ($cm^2$).

Diện tích hình tam giác BCD là:

          $30-20=10$ ($cm^2$).

Vì CF bằng $\dfrac23$ AC và tam giác CDF và tam giác ACD có chung chiều cao nên diện tích hình tam giác ADF bằng $\dfrac23$ diện tích hình tam giác ACD.

Diện tích hình tam giác CDF là:

          $20\times\dfrac23=\dfrac{40}3$ ($cm^2$).

Diện tích hình tam giác ADF là:

          $20-\dfrac{40}3=\dfrac{20}3$ ($cm^2$).

Vì BE bằng $\dfrac23$ BC và tam giác BDE và tam giác BCD có chung chiều cao nên diện tích hình tam giác BDE bằng $\dfrac23$ diện tích hình tam giác BCD.
Diện tích hình tam giác BDE là:

          $10\times\dfrac23=\dfrac{20}3$ ($cm^2$).

Vì BE bằng $\dfrac23$ BC nên EC bằng $\dfrac13$ BC. Vậy diện tích hình tam giác ACE bằng $\dfrac13$ diện tích hình tam giác ABC.

Diện tích hình tam giác ACE là:

          $30\times\dfrac13=10$ ($cm^2$).

Vì CF bằng $\dfrac23$ AC và tam giác CEF và tam giác ACE có chung chiều cao nên diện tích hình tam giác CEF bằng $\dfrac23$ diện tích hình tam giác ACE.

Diện tích hình tam giác CEF là:

          $10\times\dfrac23=\dfrac{20}3$ ($cm^2$).

Diện tích hình tam giác DEF là:

          $30-\dfrac{20}3-\dfrac{20}3-\dfrac{20}3=10$ ($cm^2$).

                      Đáp số: $10\,cm^2$.