Đáp án:

 a) Xét ΔABD và ΔACD có:

+) AB= AC ( gt)

+) AD chung

+) BD= CD ( do D là trung điểm của BC)

=> ΔABD= ΔACD (c-c-c)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC}\left( {t.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0}\\
 \Rightarrow AD \bot BC\left( {dpcm} \right)
\end{array}$

b) 

$\begin{array}{l}
Do:FE//DC\\
 \Rightarrow \widehat {HFE} = \widehat {HCD}\left( {so\,le\,trong} \right)\\
Xét\,\Delta HFE\,va\,\Delta HCD:\\
 + )\widehat {HFE} = \widehat {HCD}\\
 + )HF = HC\\
 + )\widehat {FHE} = \widehat {CHD}\left( {đối\,đỉnh} \right)\\
 \Rightarrow \Delta HFE = \Delta HCD\left( {g - c - g} \right)\\
 \Rightarrow HE = HD
\end{array}$

=> H là trung điểm của ED (đpcm)

c)

+)Do EF// BC mà AD ⊥BC

=> EF ⊥AD 

+) Ta chứng minh được ΔHFD = ΔHCE => góc HFD = góc HCE

=> DF// CE 

d)

TA có : BG = CH và BI = 2BG; CF=2CH

=> BI = CF 

Lại có: AB= AC => AI= AF

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\\
 \Rightarrow IF//BC\left( {Theo\,Talet} \right)\\
Mà:EF//BC\\
 \Rightarrow FI \equiv EF
\end{array}$

Vậy I,F,E thẳng hàng