Đáp án:

 a) TRong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

$\begin{array}{l}
BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \left( {Pytago} \right)\\
 \Rightarrow BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = \sqrt {100}  = 10\left( {cm} \right)
\end{array}$

Theo hệ thức lượng ta có: 

$\begin{array}{l}
 + )A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\left( {cm} \right)\\
 + )\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}}\\
 \Rightarrow AH = 4,8\left( {cm} \right)
\end{array}$

b) Ta có A và D cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> A,B,C,D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Hay 4 điểm A,B.C,D cùng nằm trên đường tròn tâm O, đường kính BC.

c)

Ta có 4 điểm A,B.C,D cùng nằm trên đường tròn tâm O, đường kính BC.

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {OCA} = \widehat {OAC}\\
\widehat {ADB} = \widehat {OCA}\left( {cùng\,chắn\,cung\,AB} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {ADB}
\end{array}$  

TA chứng minh được A,E,D,M cùng thuộc đường tròn tâm I

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {IEA} = \widehat {IAE}\\
\widehat {AEM} = \widehat {ADB}\left( {cùng\,chắn\,cung\,AM} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \widehat {IAE} = \widehat {ADB}\\
 \Rightarrow \widehat {IAE} = \widehat {OAC}\\
Mà:\widehat {IAE} + \widehat {IAC} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {OAC} + \widehat {IAC} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {IAO} = {90^0}\\
 \Rightarrow IA \bot AO
\end{array}$

Vậy IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O