+) Chứng minh $\Delta AEF$ cân

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta AHF$ có:

$\widehat{EAH}=\widehat{FAH}$ (do $AD$ là phân giác)

$AH$ chung

$\widehat{AHE}=\widehat{AHF}=90^o$

$\Rightarrow\Delta AHE=\Delta AHF$ (g.c.g)

$\Rightarrow AE=AF$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow\Delta AEF$ cân đỉnh A

+) Ta có $BK//EF, AH\bot EF\Rightarrow AH\bot BK$

$\Delta ABK$ có AH vừa là đường cao vừa là phân giác nên $\Delta ABK$ cân đỉnh A

$\Rightarrow AB=AK$

$\Delta AEF$ có AH vừa là phân giác vừa là đường cao nên $\Delta AEF$ cân đỉnh A

$\Rightarrow AE=AF$

$\Rightarrow KF=AF-AK=AE-AB=BE$ (*)

Trên tia đối của tia MF lấy điểm $F'$ sao cho $MF=MF'$

Xét $\Delta MFC$ và $\Delta MF'B$ có:

$MC=MB$ (do AM là trung tuyến)

$\widehat{FMC}=\widehat{F'MB}$ (đối xứng)

$MF=MF'$

$\Rightarrow\Delta MFC=\Delta MF'B$ (c.g.c)

$\Rightarrow FC=F'B$ (1) (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

và $\widehat{MFC}=\widehat{MF'B}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

mà chúng ở vị trí so le trong nên $AC//BF$

$\Rightarrow \widehat{BF'E}=\widehat{AFF'}$ (đồng vị)

Mà $\Delta AEF$ cân đỉnh A (cmt) nên $\widehat{BEF'}=\widehat{AFF'}$

$\Rightarrow\widehat{BF'E}=\widehat{BEF'}\Rightarrow\Delta BEF'$ cân đỉnh B

$\Rightarrow BF'=BE$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $FC=BE$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $KF=FC$