Bài 1: Câu hỏi chưa cho hình vẽ để trả lời

 

Bài 2:

a) Vẽ được 4 đường thẳng đó là đường thẳng MA, MB, MC, AB(hay AC,BC ba đường thẳng này là 1 và chính là đường thẳng a)

b) $A\in AM$ và $A\in a\Rightarrow A$ là giao điểm của $AM$ và $a$

c) $M\in MB$ và $M\in MC$ nên $M$ là giao điểm của $MB$ và $MC$

 

Bài 3:

a) Các tia đối nhau gốc $O$ là:

Tia Ox và tia ON

Tia Ox và tia Oy

Tia OM và tia ON

Tia OM và tia Oy

b) Các tia trùng nhau gốc N là: tia NO,NM,Nx

Các tia trùng nhau góc $M$ là: MO, MN,My

c) Hai tia MN và Ny là hai tia không trung nhau vì chúng không chung gốc

(Hai tia trùng nhau là hai tia chung gốc và có 1 điểm chung khác gốc)

Hai tia MN và Ny không là hai tia đối nhau vì chúng không chung gốc

(Hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và tạo thành một đường thẳng)

d) Do $OM$ và $ON$ là hai tia đối nhau nên $O$ là điểm nằm giữa M và N(nhận xét)

e) Tia NO và tia Nx trùng nhau nên O nằm cùng phía với M

 

Bài 4:

a) CM trùng với tia CA vì chúng chung gốc C và có điểm A,M nằm về cùng 1 phía so với C

b) CN trùng với tia CB vì chúng chung gốc C và có điểm N,B nằm về cùng một phía so với C

c) Vì C nằm giữa A và B nên CA và CB là hai tia đối nhau, do M nằm giữa A và C nên M nằm trên tia CA, N nằm giữa C và B nên N nằm trên tia CB

Vậy tia CA và CB đối nhau có M nằm trên tia CA, N nằm trên tia CB nên C nằm giữa M và N

 

Bài 5:

a) Do tia OA và OB là hai tia đối nhau nên O,A,B cùng thuộc 1 đường thẳng, nên O,A,B thẳng hàng

(dựa vào định nghĩa hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và tạo thành một đường thẳng)

Tia OA và OC trùng nhau nên $O,A,C$ thẳng hàng

Từ 2 điều trên ta được O,A,B,C thẳng hàng

b) Nếu A nằm giữa C và O thì điểm A nằm giữa B và C.

Vì A nằm giữa C và O giải thiết

OB và OC là hai tia đối nhau nên O nằm giữa C và B

nên A nằm giữa C và B

 

Bài 6:

a) Các đường thẳng là:

$A_1A_2,A_1A_3,A_1A_4,A_1A_5,A_2A_3,A_2A_4,A_2A_5,A_3A_4,A_3A_5,A_4A_5$

b) Nối điểm thứ nhất với 19 điểm còn lại ta được 19 đường thẳng

Nối điểm thứ 2 với 19 điểm còn lại ta được 19 đường thẳng

Nối điểm thứ 20 với 19 điểm còn lại ta được 19 đường thẳng

Như vậy có 20.29 đường thẳng

Nhưng số đường thẳng này lặp lại hai lần

nên số đường thẳng thực là: $\dfrac{20.19}{2}=190$ đường thẳng

c) Bài toán tổng quát: cho n điểm không thẳng hàng, tính số đường thẳng kẻ được từ n điểm đó.

Nối điểm đầu tiên với n-1 điểm còn lại ta có được n-1 đường thẳng

Nối điểm thứ 2 với n-1 điểm còn lại ta có được n-1 đường thẳng

Nối điểm thứ n với n-1 điểm còn lại ta có được n-1 đường thẳng

nên có n(n-1) đường thẳng nhưng số đường thẳng này lặp lại 2 lần

nên số đường thẳng thực là: $\dfrac{n(n-1)}{2}$

d) Ta có: $\dfrac{n(n-1)}{2}=210$

$\Rightarrow n(n-1)=420=21.20$

Do đó có 20 điểm

 

Bài 7:

a) Có thể có 3 giao điểm trong hình vẽ

b) Các trường hợp như hình vẽ

 

Bài 8:

a) Các tia đối nhau gốc O là:

Tia OA, tia OI

Tia OA, tia OB

Các tia trùng nhau gốc O là:

Tia OI, tia OB

b) 

Tia OI trùng tia OB

mà tia OB, tia OA đối nhau nên tia OI, tia OA đối nhau

nên O nằm giữa A,I

c) Tia $IA$ và tia $IB$ là hai tia đối nên $I$ nằm giữa $A$ và $B$

 

Bài 9: Cho 3 đường thẳng $xx',yy',zz'$ đồng quy tại $O$

a) Các cặp tia đối nhau là:

Tia $Ox$ và tia $Ox'$

Tia $Oy$ và tia $Oy'$

Tia $Oz$ và tia $Oz'$

b) Do tia $OA,OB$ đối nhau nên $A,B,O$ cùng nằm trên một đường thẳng

$OA,OC$ trung nhau nên $O,A,C$ cùng nằm trên một đường thẳng

Từ 2 điều trên suy ra $O,A,B,C$ cùng nằm trên một đường thẳng, nê chúng thẳng hàng.

$A$ có nằm giữa hai điểm $B$ và $C$

Vì nếu $A$ nằm giữa $O$ và $C$ thì tia $AO$ và tia $AC$ là hia tia đối nhau

Tia $AO$ và tia $AB$ trung nhau nên tia $AB$ và tia $AC$ đối nhau nên $A$ nằm giữa $B,C$.

 

Bài 10: 

a) Bài toán tổng quát: cho n điểm không thẳng hàng, tính số đường thẳng kẻ được từ n điểm đó.

Nối điểm đầu tiên với n-1 điểm còn lại ta có được n-1 đường thẳng

Nối điểm thứ 2 với n-1 điểm còn lại ta có được n-1 đường thẳng

Nối điểm thứ n với n-1 điểm còn lại ta có được n-1 đường thẳng

nên có n(n-1) đường thẳng nhưng số đường thẳng này lặp lại 2 lần

nên số đường thẳng thực là: $\dfrac{n(n-1)}{2}$

Ta có: $\dfrac{n(n-1)}{2}=28$

$\Rightarrow n(n-1)=56=8.7$

Vậy có 8 điểm

b) Giả sử từ n điểm không thẳng hàng thì ta vẽ được $\dfrac{n(n-1)}{2}$ đường thẳng

Từ 7 điểm không thẳng hàng ta vẽ được $\dfrac{7(7-1)}{2}=21$ đường thẳng

7 điểm thẳng hàng vẽ được 1 đường thẳng

Nên ta có:

$\dfrac{n(n-1)}{2}-21+1=190$

$\Rightarrow \dfrac{n(n-1)}{2}=210$

$\Rightarrow n(n-1)=420=21.20$

Vậy có 21 điểm trong đó có 7 điểm thẳng hàng.

c) Giải bài toán tổng quát n đường thẳng đôi một cắt nhau không có 3 đường thẳng nào đồng quy

Đường thẳng thứ nhất cắt n-1 đường thẳng còn lại nên có n-1 giao điểm

Đường thẳng thứ 2 cắt n-1 đường thẳng còn lại nên có n-1 giao điểm

Đường thẳng thứ n cắt n-1 đường thẳng còn lại nên có n-1 giao điểm

Nên có n(n-1) giao điểm

Nhưng số giao điểm này lặp lại 2 lần

Vậy số giao điểm thực là: $\dfrac{n(n-1)}{2}$

Với $n=20$ ta có số giao điểm là:

$\dfrac{20(20-1)}{2}=190$ giao điểm.