a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được:

AE⋅AB=AH2(1)AE⋅AB=AH2(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền CA, ta được:

AF⋅AC=AH2(2)AF⋅AC=AH2(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE⋅AB=AF⋅ACAE⋅AB=AF⋅AC

hay AEAC=AFABAEAC=AFAB

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có 

AEAC=AFABAEAC=AFAB

Do đó: ΔAEF∼∼ΔACB

Giải thích các bước giải:

a.Ta có :

$AH\perp BC, HE\perp AB\to \widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^o$ 

$\to \Delta AEH\sim\Delta AHB(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH^2=AE.AB$

Tương tự $AH^2=AF.AC$

$\to AE.AB=AF.AC\to \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ACB(g.g)$

b.Ta có : $HE\perp AB,HF\perp AC, AB\perp AC\to AEHF$ là hình chữ nhật

$\to EF=AH=4.8$

Từ câu a$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{EF}{BC})^2=(\dfrac{4.8}{10})^2$

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{144}{625}$

$\to S_{AEF}=\dfrac{144}{625}S_{ABC}$

$\to S_{AEF}=\dfrac{144}{625}\cdot \dfrac12\cdot AH\cdot BC$

$\to S_{AEF}=\dfrac{144}{625}\cdot \dfrac12\cdot 4.8\cdot 10$

$\to S_{AEF}=\dfrac{6912}{1250}$

c.Gọi $CA\cap BK=D, AH\cap EF=O$

Vì $AEHF$ là hình chữ nhật $\to O $ là trung điểm AH,EF

Vì H,I  đối xứng qua AB 
$\to\widehat{IAB}=\widehat{BAH}$

$\to \widehat{KAB}=\widehat{BAH}$

Mà $BK//AH(\perp BC)$

$\to \widehat{KBA}=\widehat{BAH}=\widehat{BAK}\to KB=KA$

$\to 90^o-\widehat{KBA}=90^o-\widehat{BAK}$

$\to \widehat{KDA}=\widehat{KAD}$

$\to KD=KA$

$\to KD=KB(=KA)$
$\to K$ là trung điểm BD

Kết hợp $AH//BD\to \dfrac{AH}{BD}=\dfrac{CH}{CB}$

$\to \dfrac{2OH}{2BK}=\dfrac{CH}{CB}$

$\to \dfrac{OH}{BK}=\dfrac{CH}{CB}$

Mà $\widehat{CHO}=\widehat{CBK}=90^o$

$\to \Delta COH\sim\Delta CKB(c.g.c)$
$\to \widehat{HCO}=\widehat{BCK}$

$\to C,O,K$ thẳng hàng

$\to CK, AH,EF$ đồng quy