a) Do DC, DA là 2 tiếp tuyến của đường tròn nên DC = DA.

Xét tam giác DCO và DAO có

$DC = DA, CO = AO, DO$ chung

Vậy tam giác DCO = tam giác DAO. Do đó $\widehat{COD} = \widehat{AOD}$.

Vậy MO là phân giác $\widehat{COA}$. Lại có OC = OA nên tam giác COA cân tại O, do đó OM là đường cao và đường trung tuyến của tam giác OAC. Suy ra $MC \perp DO$ và M là trung điểm AC.

Xét tam giác DCO vuông tại C có CM là đường cao, áp dụng hệ thức lượng ta có

$DM . MO = CM^2$. (1)

CMTT, ta có N là trung điểm BC và 

$ON . NE = CN^2$ (2)

Xét tam giác ACB có $\widehat{C}$ chắn nửa đường tròn, do đó tam giác ABC vuông tại C.

Lại có M, N là trung điểm AC, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó $MN = \dfrac{1}{2}AB$. (3)

Xét tam giác vuông CMN có

$CM^2 + CN^2 = MN^2$

Áp dụng (1), (2), và (3) ta có

$DM.MO + ON.NE = (\dfrac{AB}{2})^2$

$<-> DM.MO + ON.NE = \dfrac{AB^2}{4}$

$<-> 4(DM.MO + ON.NE) = AB^2 = AB.AB$

2. Xét tứ giác CMON có 

$\widehat{OMC} = \widehat{MCN} = \widehat{CNO} = 90^{\circ}$

Vậy tứ giác CMON là hình chữ nhật.

Vậy để tứ giác CMON là hình vuông thì CO phải là đường phân giác của $\widehat{MCN}$, lại có CO là đường trung tuyến của tam giác CAB, do đó tam giác CAB cân tại C.

Vậy để tứ giác MNOC là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại C.