$C=\dfrac{x^2}{x-1}$

$=\dfrac{x^2-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=x+1+\dfrac{1}{x-1}$

$=x-1+\dfrac{1}{x-1}+2$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho $x-1;\dfrac{1}{x-1}>0$

$⇒x-1+\dfrac{1}{x-1}≥2.\sqrt[]{(x-1).\dfrac{1}{x-1}}=2.1=2$
$⇒x-1+\dfrac{1}{x-1}+2≥4$

hay $C≥4$

Dấu $=$ xảy ra $⇔(x-1)^2=1⇔x-1=1⇔x=2(t/m)$

Đáp án: $C_{min} = 4$ tại $x=2$

Giải thích các bước giải:

$\text{Bạn bổ sung đề, bài này là tìm Giá trị nhỏ nhất nhé bạn !}$

Ta có $C = \dfrac{x^2}{x-1} = \dfrac{(x^2-1)+1}{x-1}$

$ = \dfrac{(x-1).(x+1)+1}{x-1} = (x+1) + \dfrac{1}{x-1}$

$ = \bigg[(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\bigg] + 2$

Vì $x>1 ⇒ \left\{ \begin{array}{l}x-1>0\\\dfrac{1}{x-1}>0\end{array} \right.$

Ta đi chứng minh $BĐT$ phụ sau :

$a+\dfrac{1}{a} ≥ 2 (a > 0)$ ( BĐT này được phát biểu như sau : Tổng nghịch đảo hai số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng $2$ )

Thật vậy, $BĐT$ cần chứng minh trở thành :

$a+\dfrac{1}{a}-2 ≥ 0 $

$⇔ \dfrac{a^2+1-2a}{a} ≥ 0 $

$⇔ \dfrac{(a-1)^2}{a} ≥ 0 $ ( Đúng với $a>0$ )

Dấu "=" xảy ra $⇔a=\dfrac{1}{a} ⇔ a=1$

Vậy ta có $a+\dfrac{1}{a} ≥ 2$ với $a>0$

Áp dụng vào bài toán trên với $x-1>0$ và $\dfrac{1}{x-1}>0$ ta có :

$(x-1)+\dfrac{1}{x-1} ≥ 2 ⇒ \bigg[(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\bigg] +2 ≥ 4$

Hay $C ≥ 4$

Dấu "=" xảy ra $⇔ x-1=\dfrac{1}{x-1} ⇔ (x-1)^2=1$

$⇔x-1=1$ ( Do $x-1>0$ )

$⇔x=2$

Vậy $C_{min} = 4$ tại $x=2$