Từ $A$ hạ đường cao $AH'$

Xét $ΔAEG$ và $ΔDEK$ có: $AE=ED;EQ=EK \text{( E là trung điểm)};\widehat{GEA}=\widehat{DEK} \text{(đối đỉnh)}$

$⇒ΔAEG=ΔDEK(c.g.c)$

$⇒S_{AEG}=S_{DEK}$

$CMTT:ΔBFH=ΔCFI(c.g.c)$

$⇒S_{BFH}=S_{CFI}$

$⇒S_{ABCD}=S_{AEKIFB}+S_{DEK}+S_{CFI}$

$⇒S_{ABCD}=S_{AEKIFB}+S_{AEG}+S_{BFH}$

$⇒S_{ABCD}=S_{GHIK}$ $(1)$

Ta có: $S_{GHIK}=GK.GH$

Mà: $EF$ là đường trung bình hình chữ nhật $GHIK$

$⇒EF=GH=IK$

Dễ chứng minh được: $GAH'K$ là hình chữ nhật

$⇒GK=AH'$

$⇒S_{GHIK}=AH'.EF$ $(2)$

Từ $(1);(2)⇒S_{ABCD}=AH'.EF$ $(3)$

$EF$ là đường trung bình hình thang $ABCD$

$⇒EF=\dfrac{AB+CD}{2}$

$⇒S_{ABCD}=\dfrac{(AB+CD).AH'}{2}$ $(3)$

Từ $(3);(4)$: Diện tích của hình thang $ABCD$ không đổi.

______________________________________________________

Từ đây ta có công thức tính diện tích hình thang mới: 

$(+)$ Diện tích hình thang bằng tích của đường trung bình và chiều cao của hình thang.