Gọi `(5+4^2 +4^3 +...+4^2021 )` là A

Ta có :

`A=5+4^2 +4^3 +...+4^2021 `

`=1+4+4^2 +...+4^2021 `

`4A=4+4^2 +...+4^2021 +4^2022`

Lấy `4A-A` ta được 

`3A=4^2022 - 1`

`A=(4^2022 -1)/3`

Khi đó `E=75.(4^2022 -1)/3 +25`

               `=25.(4^2022 -1)+25`

               `=25.(4^2022 -1+1)`

               `=25.4^2022 \vdots 4^2022`

  Vậy `E  \vdots 4^2022`

 

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 `E = 75(5+4^2+4^3+...+4^2021)+ 25`

 Gọi `A = 5+4^2+4^3+....+2^2021`

`=> 4A = 20+4^3+4^4+...+4^2021+4^2022`

`=> 4A-A= (20+\cancel{4^3+4^4+...+4^2021}+4^2022)-(5+4^2+\cancel{4^3+...+4^2021})`

`=> 3A = (20+4^2022)-(5+4^2)`

`=> 3A = 4^2022+20-5-16`

`=> 3A = 4^2022-1`

`=> A = (4^2022-1):3`

Thay `A` vào `E` được:

`E = 75(4^2022-1):3+25`

`E = 25*(4^2022-1)+25*1`

`E = 25*(4^2022-1+1)`

`E = 25*4^2022 vdots 4^2022 \text{(đpcm)}`