Đáp án:

a) $HB=HC$

b) $AH=8cm$

c) $\triangle HDE$ cân tại H

d) Khi $\widehat{BAC}=120^o$ thì $\triangle HDE$ là tam giác đều

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\,\,\,(=90^o)$

$AB=AC$ ($\triangle ABC$ cân tại A)

$AH$: chung

$\to\triangle AHB=\triangle AHC$ (ch - cgv)

$\to HB=HC$ (2 cạnh tương ứng)

b)

Ta có: $HB=HC$ (cmt)

$BC=HB+HC=2HB\\\to HB=\dfrac{1}{2}BC=6(cm)$

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$AH^2+HB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to AH=\sqrt{AB^2-HB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(cm)$

c)

$\triangle AHB=\triangle AHC$ (cmt)

$\to\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (2 góc tương ứng)

Xét $\triangle AHD$ và $\triangle AHE$:

$\widehat{ADH}=\widehat{AEH}\,\,\,(=90^o)$

$AH$: chung

$\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\,\,\,(\widehat{BAH}=\widehat{CAH})$

$\to\triangle AHD=\triangle AHE$ (ch - gn)

$\to HD=HE$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle HDE$ cân tại H

d)

Ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (cmt)

$\widehat{BAC}=\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=120^o\\\to \widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\dfrac{120^o}{2}=60^o$

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$\widehat{DHA}+\widehat{DAH}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{DHA}=90^o-60^o=30^o$

Tương tự $\to\widehat{EHA}=30^o$

$\to\widehat{DHE}=\widehat{DHA}+\widehat{EHA}=30^o+30^o=60^o$

Mà $\triangle HDE$ cân tại H (cmt)

$\to\triangle HDE$ đều