Đáp án:

a) Tứ giác AMCD là hình chữ nhật

b) Tứ giác ABMD là hình bình hành

c) Để tứ giác AMCD là hình chữ nhật thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

d) $S_{AMCD}=12cm^2, S_{ABMD}=12cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác AMCD:

N là trung điểm của AC (gt)

N là trung điểm của MD (gt)

$\to$ Tứ giác AMCD là hình bình hành

$\triangle ABC$ cân tại A, M là trung điểm của BC (gt)

$\to$ AM là đường trung tuyến

$\to$ AM là đồng thời đường cao

$\to AM\bot BC\to AM\bot MC$

$\to$ Tứ giác AMCD là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

$\to AD//MC, AD=MC$

b)

Xét tứ giác ABMD:

$AD//BM\,\,\,(AD//MC)\\AD=BM\,\,\,(=MC)$

$\to$ Tứ giác ABMD là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

c)

Tứ giác AMCD là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác AMCD là hình vuông

$⇔AM=MC\\⇔AM=\dfrac{1}{2}BC$

$\to\triangle ABC$ vuông tại A (tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông)

$\to$ Để tứ giác AMCD là hình chữ nhật thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

d)

Ta có: $BM=MC=\dfrac{1}{2}BC=4(cm)$

$\triangle AMB$ vuông tại M:

$AM^2+MB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to AM=\sqrt{AB^2-MB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(cm)$

$S_{AMCD}=AM.MC=3.4=12(cm^2)\\S_{ABMD}=AM.MB=3.4=12(cm^2)$