Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), có \(\widehat{ACB}=\alpha\).

a) \(\Delta{ABC}\), vuông tại \(A\), theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\(\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}\), \(\cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}\)

\(\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}\), \(\cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}\).

* Chứng minh \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).

\(VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} : \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}\)

\(=\dfrac{AB.BC}{BC.AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT\)

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh \( \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\).

\(VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}\)

\(=\dfrac{AC.BC}{BC.AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT\)

* Chứng minh \(\tan \alpha . \cot \alpha =1\).

Ta có: \(VT=\tan \alpha . \cot \alpha \)

\(= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP\)

b) \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), áp dụng định lí Pytago, ta được:

\(BC^2=AC^2+AB^2\) (1)

Xét \(\sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha \)

\(\;\;\;={\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2}+ {\left(\dfrac{AC}{AB} \right)^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}\)

\(\;\;\;=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}\) (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} \over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1 \)

Như vậy \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ba hệ thức:

\(\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\); \(\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) và \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)tan a=AC/AB =(AC/AB).(BC/AB)=(AC/BC):(AB/BC)=sin a/cos a

cot a=AB/AC=(AB:BC)/(AC:BC)=cos a/sin a

tan a. cot a=(AC/AB).(AB/AC)=1

b)sin^2 a +cos^2 a = (AC^2/BC^2)+(AB^2/AC^2)=BC^2/BC^2=1