Giải thích các bước giải:

a.$\text{Ta có  }a,b\in S\rightarrow a.b\in S\rightarrow đpcm$

b.$\text{Ta có: n chẵn }\rightarrow x^2+3y^2 \text{ chẵn}\rightarrow \text{x,y cùng chẵn hoặc cùng lẻ}$

+$\text{Nếu x,y cùng chẵn }\rightarrow x^2\quad \vdots\quad 4,y^2\quad \vdots\quad 4$

$\rightarrow x^2+3y^2\quad\vdots\quad 4\rightarrow n\quad \vdots\quad 4\rightarrow \dfrac{n}{4}\in Z$

+$\text{Nếu x,y cùng lẻ}$

$\rightarrow (x-1)(x+1)\quad\vdots\quad 4, (y-1)(y+1)\quad\vdots\quad 4$

$\rightarrow x^2-1\quad\vdots\quad 4,y^2-1\quad\vdots\quad 4$

$\rightarrow (x^2-1)+3(y^2-1)\quad\vdots\quad 4\rightarrow x^2+3y^2-4\quad\vdots\quad 4$

$\rightarrow x^2+3y^2\quad\vdots\quad 4$

$\rightarrow đpcm$

a) Giả sử ta có $a, b \in S$. KHi đó, tồn tại các số nguyên $n, m, p, q$ sao cho

$a = n^2 + 3m^2$ và $b = p^2 + 3q^2$

Vậy để cminh $ab \in S$ thì ta cần chỉ ra rằng tồn tại hai số nguyên $x,y$ sao cho

$ab = x^2 + 3y^2$

Khi đó, ta xét

$ab = (n^2 + 3m^2)(p^2 + 3q^2)$

$= n^2 p^2 + 3n^2 q^2 + 3m^2 p^2 + 9m^2 q^2$

$= n^2 p^2 + 6.mpnq + (3mq)^2 + 3n^2q^2 - 6mpnq + 3m^2p^2$

$= (np)^2 + 2.np.(3mq) + (3mq)^2 +3n^2q^2 - 6mpnq + 3m^2p^2$ 

$= (np+mq)^2 + 3(n^2 q^2 - 2.nq.mp + m^2p^2)$

$= (np+mq)^2 + 3(nq-mp)^2$

Đặt $ h = np+mq, k = nq-mp$

Vậy $ab = h^2 + 3k^2$

Lại có $m, n, p, q$ đều là số nguyên nên ta suy ra $h, k$ cũng là số nguyên.
Do đó $ab \in S$