1) Một số tự nhiên n khi chia cho 4 chỉ dư 0,1,2 và 3. 
* Nếu n = 4k (k thuộc N) => n^2 = 16k^2, chia hết cho 4. 
n = 4k + 1 => n^2 = 16k^2 + 8k + 1, chia 4 dư 1. 
n = 4k + 2 => n^2 = 16k^2 + 16k + 4, chia hết cho 4. 
n = 4k + 3 => n^2 = 16k^2 + 24k + 9, chia 4 dư 1. 

2) Tương tự như trên, bạn xét các TH n = 3k, 3k + 1 và 3k+2 nhé. 

4) Đặt số chính phương là a5

⇒a5^2 = (10k+5)^2=100k^2+100k+25= ...25 ⇒ đpcm.

3)

Giả sử tồn tại số chính phương a^2 có tận cùng là 4 mà chữ số hàng chục lẻ.

Khi đó a^2 có thể có tận cùng 14,34,...,94. Những số trên đều không chia hết cho 4 nên a^2 không chia hết cho 4 (1)

Mà a^2 tận cùng là 4 nên a^2 là scp chẵn. Do đó a chẵn hay a⋮2

→a2 = a.a ⋮4  (mâu thuẫn với (1))

Do đó không tồn tại scp có tận cùng bằng 4 mà chữ số hàng chục lẻ. Hay một số cp có tận cùng là 4 thì chữ số hàng hàng chục là số chẵn.