Ta có

$f'(x) = \dfrac{(2x - 2)(x-2) - (x^2 - 2x + 1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x +3}{(x-2)^2}$

Gọi tiếp điểm là $M(a, b)$. Khi đó ptrinh tiếp tuyến qua M là

$d: y = f'(a) (x-a) + b$

Do $M \in (C)$ nên  $b = \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a-2}$. THế vào ta có

$d: y = \dfrac{a^2 - 4a + 3}{(a-2)^2} (x-a)+ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a-2}$

Do tiếp tuyến đi qua $A(6, 4)$ nên ta có

$4 = \dfrac{a^2 - 4a + 3}{(a-2)^2} (6-a)+ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a-2}$

$<-> 4(a-2)^2 = (6-a)(a^2 - 4a + 3) + (a-2)(a^2 - 2a + 1)$

$<-> 4(a^2 - 4a + 4) = -a^3 +10a^2 -27a + 18 + a^3 -4a^2 +5a - 2$

$<-> 2a^2 - 6a =0$

$<-> a(a-3) = 0$

Vậy $a = 0$ hoặc $a = 3$, suy ra $b = -\dfrac{1}{2}$ hoặc $b = 4$.

Vậy $M(0, -\dfrac{1}{2})$ hoặc $M(3, 4)$.

Hsg là

$f'(0) = \dfrac{3}{4}$ hoặc $f'(3) = 0$

Vậy ptrinh tiếp tuyến là

$d: y = \dfrac{3}{4} x - \dfrac{1}{2}$ hoặc $d: y = 4$.

$f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}$

PT tiếp tuyến có dạng: 

$y=f'(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}$

$→ \dfrac{x_{0}^2-4x_{0}+3}{(x_{0}-2)^2}(6-x_{0})+\dfrac{x_{0}^2-2x_{0}+1}{x_{0}-2}=4$

$→ \left[ \begin{array}{l}x_{0}=0\\x_{0}=3\end{array} \right.$

Với $x_{0}=0$ ta có tiếp tuyến: 

$y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}$ hay $3x-4y-2=0$

Với $x_{0}=3$ ta có tiếp tuyến: $y=4$

Vậy có $2$ tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.