$x^2+2(2m-1)x+3(m^2-1)=0$ (1)

a. $\Delta'=(2m-1)^2-1.3(m^2-1)$

$=4m^2-4m+4-3m^2+3$

$=m^2-4m+7$

Để phương trình (1) có nghiệm

$⇔\Delta'≥0$

$⇔m^2-4m+7≥0$

$⇔(m^2-4m+4)+3≥0$

$⇔(m-2)^2+3≥0$

Do $(m-2)^2+3≥3>0$ với mọi $m$

Nên phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của $m$.

b. Phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của $m$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=-2(2m-1)\\x_1.x_2=3(m^2-1)\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x_1+x_2=-4m+2\\x_1.x_2=3m^2-3\end{cases}$

$⇔\begin{cases}4m=2-(x_1+x_2)\\3m^2=x_1.x_2+3\end{cases}$

$⇔\begin{cases}m=\dfrac{2-(x_1+x_2)}{4}(*)\\m=\sqrt{\dfrac{x_1.x_2+3}{3}}(**)\end{cases}$

Từ $(*)$ và $(**)$

$⇒\dfrac{2-(x_1+x_2)}{4}=\sqrt{\dfrac{x_1.x_2+3}{3}}$

$⇔\dfrac{\sqrt{3}[2-(x_1+x_2)]}{4\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{x_1.x_2+3}}{4\sqrt{3}}$

$⇒2\sqrt{3}-\sqrt{3}(x_1+x_2)-4\sqrt{x_1.x_2+3}=0$

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ của phương trình không phụ thuộc vào $m$ là $2\sqrt{3}-\sqrt{3}(x_1+x_2)-4\sqrt{x_1.x_2+3}=0$.

Đáp án: a.m∈Rm∈R

             b.x1x2=3((x1+x2+24)2−1)x1x2=3((x1+x2+24)2−1)

Giải thích các bước giải:

a.Để phương trình có nghiệm

→Δ′≥0→Δ′≥0

→(2m−1)2−3(m2−1)≥0→(2m−1)2−3(m2−1)≥0

→m2−4m+4≥0→m2−4m+4≥0

→(m−2)2≥0→(m−2)2≥0 luôn đúng

→→Phương trình có nghiệm với mọi m

b.Từ câu a→→ Phương trình có 2 nghiệm x1,x2x1,x2 thỏa mãn

{x1+x2=2(2m−1)x1x2=3(m2−1){x1+x2=2(2m−1)x1x2=3(m2−1)

{x1+x2=4m−2x1x2=3(m2−1){x1+x2=4m−2x1x2=3(m2−1)

⎧⎨⎩x1+x2+24=mx1x2=3(m2−1){x1+x2+24=mx1x2=3(m2−1)

→x1x2=3((x1+x2+24)2−1)

Giải thích các bước giải: