Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Làm tiếp đoạn dưới còm men: \left( \right)

$a+b-\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)+c+d-\left(\dfrac{c+d}{cd}\right)=0$ 

$⇒(a+b)\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)+(c+d)\left(1-\dfrac{1}{cd}\right)=0$

$⇒\dfrac{(a+b)(ab-1)}{ab}+(c+d)(1-ab)=0$ (do $\dfrac{1}{cd}=ab$) đoạn dưới ko giải thích những chi tiết thế này nữa

$⇒(ab-1)\left(\dfrac{a+b}{ab}-c-d\right)=0$ 

$⇒(ab-1)((a+b)cd-c-d)=0$

$⇒(ab-1)(acd+bcd-c-d)=0$

$⇒(ab-1)(c(ad-1)+d(bc-1))=0$

$⇒(ab-1)\left(c(ad-1)+d\left(\dfrac{1}{ad}-1 \right)\right)=0$

$⇒(ab-1)\left(c(ad-1)+\dfrac{d(1-ad)}{ad} \right)=0$

$⇒(ab-1)(ad-1)\left(c-\dfrac{d}{ad} \right)=0$

$⇒(ab-1)(ad-1)(c-d.bc)=0$

$⇒(ab-1)(ad-1)c(bd-1)=0$

Do $c \neq 0⇒ab=1$ hoặc $ad=1$ hoặc $bd=1$

Hay tồn tại tích 2 trong 4 số bằng 1

$a+b+c+d=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$

$=>[(a+b)-(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})]+[(c+d)-(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d})]=0$

$=> (a+b)(1-\dfrac{1}{ab})+(c+d)(1-\dfrac{1}{cd})=0$

$=> (a+b)\dfrac{ab-1}{ab}+(c+d)(1-ab)=0$

$=> (ab-1)(\dfrac{a+b}{ab}-c-d)=0$

$=>(ab-1)(\dfrac{a+b}{ab}-\dfrac{(c+d)(ab)}{ab})=0$

$=>(ab-1)(a+b-abc-abd)=0$

$=>(ab-1)(a(1-bc)+b(1-ad))=0$

$=>(ab-1)(a(1-bc)+b(abcd-ad))=0$

$=>(ab-1)(a(1-bc)+bad(bc-1))=0$

$=>(ab-1)(a-bad)(1-bc)=0$

$=>a(1-bd)(ab-1)(1-bc)=0$

$=> (1-bd)(ab-1)(1-bc)=0$(do $a\ne 0$)

Không mất tính tổng quát giả sử $1-bd=0$

$=>bd=1$

$=>$ đpcm.