a) Đường tròn (O) cắt AB, AC tại E, D nên E, E thuộc (O)

Nên $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o$ (góc nội tiếp chán nửa đường tròn)

$\Rightarrow CE\bot AB, BD\bot AC$

$\Delta ABC$ có $BD, CE$ là hai đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm

$\Rightarrow AH\bot BC, AH$ cắt BC tại $I\Rightarrow AI\bot BC$ (đpcm)

$\Rightarrow \widehat{BIH}=90^o$

Tứ giác $BEHI$ có $\widehat{BEH}+\widehat{BIH}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau nên $BEHI$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BH)$

Ta có: $\widehat{DEC}=\widehat{DBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))

$\widehat{DBC}=\widehat{HEI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HI của (BH))

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{DEC}=\widehat{HEI}\Rightarrow EC$ là phân giác $\widehat{IED}$

b) Ta có $\widehat{AEC}=\widehat{AIC}=90^o$

Đỉnh $E, I$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới một góc $90^o$ nên $AEIC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

$\Rightarrow\widehat{BEI}=\widehat{BCA}$ (cùng bù $\widehat{IEA}$)

$\Rightarrow\Delta BEI\sim\Delta BCA$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BI}{BA}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow BE.BA=BI.BC$ (đpcm)

c) Tứ giác $BEHI$ nội tiếp đường tròn đường kính (BH) (do có tổng 2 góc đôi đinh $\widehat{BEH}+\widehat{BIH}=180^o$)

$\Rightarrow\widehat{EBH}=\widehat{EIH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EH của (BH))

Tương tự $CDHI$ nội tiếp đường tròn đường kính (CH) nên $\widehat{DIH}=\widehat{DCH}$

$\Rightarrow\widehat{EID}=\widehat{EIH}+\widehat{DIH}=\widehat{EBH}+\widehat{DCH}=2\widehat{EBD}=\widehat{EOD}$

$\Rightarrow I, O$ cùng nhìn cạnh $ED$ dưới cùng một góc nên $OIED$ nội tiếp. (đpcm)

d) Ta có: $\Delta CDB\sim\Delta CIA$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{CD}{CI}=\dfrac{CB}{CA}$

$\Rightarrow CD.CA=CB.CI$ kết hợp với câu b

$\Rightarrow BE.BA+CD.CA=BI.BC+CI.BC=BC^2=16^2=256$