Đáp án:

 Gọi tâm đường tròn là: I (x;y)

Vì M thuộc d1 , đường tròn tiếp xúc với cả 2 đường thẳng nên:

$\begin{array}{l}
{d_{I - {d_1}}} = {d_{I - {d_2}}} = IM;IM \bot {d_1}\\
 \Rightarrow \frac{{\left| {7x - y - 5} \right|}}{{\sqrt {49 + 1} }} = \frac{{\left| {x + y + 12} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {7x - y - 5} \right|}}{{5\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {x + y + 12} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\
\overrightarrow {IM} .\overrightarrow u  = 0\left( {\overrightarrow u  = \left( {7; - 1} \right)} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {7x - y - 5} \right| = 5\left| {x + y + 12} \right|\\
7.\left( {1 - x} \right) - 1.\left( {2 - y} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
7x - y - 5 = 5x + 5y + 60\\
7x - y - 5 =  - 5x - 5y - 60
\end{array} \right.\\
7x - y - 5 = 0 \Rightarrow I \in {d_1}\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

=> ko có đường tròn nào thỏa mãn điều kiện trên.

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Tọa độ $M(1; 2)$ thỏa $d1 : 7x - y - 5 = 0 ⇒ M(1; 2) ∈ d1$

Gọi $(C): (x - a)² + (y - b)² = R²$ có tâm $I(a; b)$ bán kính $R$ là PT đường tròn cần lập

$M$ là tiếp điểm và$M∈d1⇒ MI⊥d1 ⇔ vtIM.vtu = 0$

Với tọa độ $vtMI = (a - 1; b - 2); vtu = (1; 7)$ là vec tơ chỉ phương của $d1$

$⇔ 1.(a - 1) + 7.(b - 2) = 0 ⇔ a = 15 - 7b (1)$

Mặt khác : $(C)$ tiếp xúc $d_{1}; d_{1} ⇒ d_{I; d_{1}} = d_{I; d_{2}} = R (2)$

$ ⇔\frac{|7a - b - 5|}{\sqrt[]{7² + (- 1)²}} = \frac{|a + b + 12|}{\sqrt[]{1² + 1²}}$

$ ⇔ 2|7a - b - 5|² = 50|a + b + 12|²$  

$ ⇔ (20 - 10b)² - (27 - 6b)² = 0$ (thay $(1)$ vào)

$ ⇔ (47 - 16b)(7 + 4b) = 0$

$ ⇒ b = \frac{47}{16}; b = - \frac{7}{4} ⇒ a = - \frac{89}{16}; a = \frac{109}{4} $ 

Thay vào $(2)$ tính ra :
$R_{1} = \frac{|- \frac{89}{16} + \frac{47}{16} + 12|}{\sqrt[]{2}} = \frac{37}{4\sqrt[]{2}} ⇒R²_{1} = \frac{1369}{32}$

$R_{2} = \frac{|\frac{109}{4} - \frac{7}{4} + 12|}{\sqrt[]{2}} = \frac{40}{\sqrt[]{2}} ⇒R²_{2} = 800$

Vậy có 2 đường tròn thỏa là:

$(C_{1}) : (x + \frac{89}{16})² + (y - \frac{47}{16}) = \frac{1369}{32}$

$(C_{2}) : (x - \frac{109}{4})² + (y + \frac{7}{4}) = 800$