a) Xét tg ABC cân ở A có đường cao AH (gt) -> AH cũng là đường phân giác của tg ABC 
-> BAH = CAH. 
Xét tg ABH và ACH có ABH = ACH, AB = AC (gt), BAH = CAH -> tg ABH = tg ACH (g.c.g).

b) AH cũng là đường trung trực của tg ABC -> BH = HC = 1/2 BC. 
Mà HI // AC (gt) -> IA = IB = 1/2 AB. -> I là trung điểm của AB. (1)
Xét tg ABC vuông ở A có đường trung tuyến AH, BK cắt nhau ở O -> O là giao của 3 đường trung tuyến. (2)
Từ (1) và (2) -> CI là trung tuyến của tg ABC -> O thuộc CI -> C,I,O thẳng hàng. 

c) Vì K nằm giữa A và C -> BK nằm giữa ABC -> KBC < ABC = ACB.  
Vì KBC + KCB = 90 độ ; HAC + ACH = 90 độ -> KBC = HAC. 

-> HAC < ACH -> AH > CH (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, tg AHC). 

a, 

$\Delta$ ABH và $\Delta$ ACH có:

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$ 

AB=AC 

$\Rightarrow$ $\Delta$ ABH = $\Delta$ ACH (ch-gn)

b, 

$\Delta$ ABC cân tại A, AH là đường cao nên cũng là trung tuyến.

$\Rightarrow$ BH=HC

$\Delta$ ABC có BH=HC, IH // AC nên IH là đường trung bình, AI=IB 

$\Delta$ AHB vuông tại H có HI trung tuyến nên HI=$\frac{1}{2}$AB= AI

$\Rightarrow$ $\Delta$ AIH cân tại I 

AH, BK là hai trung tuyến cắt tại O nên O là trọng tâm.

$\Rightarrow$ O nằm trên trung tuyến CI

$\Rightarrow$ C, O, I thẳng hàng 

c, (chưa ra)