m < 9/32 

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì  

Δ=(2m−3)2−4(m2+5m)=4m2−12m+9−4m2−20m=9−32m>0Δ=(2m−3)2−4(m2+5m)=4m2−12m+9−4m2−20m=9−32m>0

⇔m<932⇔m<932

Với điều kiện như trên, phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

x1=2m−3−√9−32m2,x2=2m−3+√9−32m2(x1<x2)x1=2m−3−9−32m2,x2=2m−3+9−32m2(x1<x2)

Theo giả thiết: 

x2=2m−3+√9−32m2<6x2=2m−3+9−32m2<6

2m−3+√9−32m<12⇔√9−32m<15−2m⇔{15−2m>04m2−60m+225>9−32m⇔{m<1524m2−28m+216>02m−3+9−32m<12⇔9−32m<15−2m⇔{15−2m>04m2−60m+225>9−32m⇔{m<1524m2−28m+216>0

Hệ trên có nghiệm đúng với mọi m < 15/2

Kết hợp điều kiện  ban đầu suy ra m < 9/32

Đây là vd cho mình vote 5 sao và ctrlhnh nha

 

Đáp án: $\frac{7 - \sqrt[]{33}}{2} ≤ m ≤ \frac{7 + \sqrt[]{33}}{2}$ 

 

Giải thích các bước giải:

$x² - x - m - 3 = 0 (*)$

Để $(*)$ có 2no thì:

$Δ = (- 1)² - 4.1.(-m - 3) = 4m + 13 ≥ 0 ⇒ m ≥ - \frac{13}{4} (1)$

Theo Vi ét: $x_{1} + x_{2} = 1$

Từ $(*) ⇒ x² = x + m + 3 ⇒ x²_{1} = x_{1} + m + 3$

$⇒ x²_{1} + x_{2} = x_{1} + x_{2} + m + 3 = m + 4$

Theo giả thiết $: x²_{1} + x_{2} ≥ m² - 6m + 8$

$⇔ m + 4 ≥ m² - 6m + 8$

$⇔ m² - 7m + 4 ≤ 0 ⇔ 4m² - 28m + 16 ≤ 0$

$⇔ 4m² - 2.2m.7 + 49 ≤ 33$

$⇔ (2m - 7)² ≤ 33 ⇔ - \sqrt[]{33} ≤ 2m - 7 ≤ \sqrt[]{33}$

$⇔ 7 - \sqrt[]{33} ≤ 2m ≤ 7 + \sqrt[]{33}$

$⇔ \frac{7 - \sqrt[]{33}}{2} ≤ m ≤ \frac{7 + \sqrt[]{33}}{2}$ (thỏa $(1)$)