Cơ sở lí thuyết :

- Ta thấy rằng, dưới mẫu các biểu thức cần chứng minh đều có thể áp dụng Cô - si . Chẳng hạn :$b^2+1 ≥ 2b$

- Tuy nhiên, BĐT sẽ bị đổi chiều khi $b^2+1$ ở dưới mẫu : $\dfrac{a}{b^2+1} ≤ \dfrac{a}{2b}$. Để ý BĐT cần chứng minh có chiều "$≥$". Do đó nếu làm tiếp ta sẽ bị ngược dấu.

- Điều này giúp ta nghĩ ngay đến việc, làm thế nào để xuất hiện $-(b^2+1)$ ở dưới mẫu để khi áp dụng Cô - si ta sẽ không bị ngược dấu với BĐT cần chứng minh.

- Vậy nên, bài này ta cần dùng phương pháp Cô - si ngược dấu để giải.

Bài làm chi tiết :

Đầu tiên ta đi chứng minh : $-(ab+bc+ca) ≤ - \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

Thật vậy BĐT tương đương : $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≥ 0 $

Ta có : $\dfrac{a}{1+b^2} = \dfrac{a.(1+b^2)-ab^2}{1+b^2} = a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}$

Ta có : $b^2+1 ≥ 2b \to \dfrac{ab^2}{1+b^2} ≤ \dfrac{ab^2}{2b} = \dfrac{ab}{2}$

$\to -\dfrac{ab^2}{b^2+1} ≥ -\dfrac{ab}{2}$

Tương tự với các biểu thức còn lại ta được :

$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} ≥ (a+b+c)-\bigg(\dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ca}{2}\bigg) = 3- \dfrac{ab+bc+ca}{2} ≥ 3- \dfrac{\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{2} $

$\to \dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} ≥ 3-\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$ 

Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c=1$

Vậy BĐT đã được hoàn tất !