$\text{a/Xét tứ giác BDEF có :}$

$\widehat{EHB}=90^o(gt)$

$\widehat{EDB}=90^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{EHB}+\widehat{EDB}=180^0$

⇒Tứ giác BDEF là tứ giác nội tiếp ( AD dấu hiệu tổng hai góc đối diện bằng 180^0)

$\text{b/Xét ΔAEH và ΔABD  có:}$

$\widehat{A}:chung$

$\widehat{AHE}=\widehat{ADB} =90^0$

$⇒  ΔAEH\sim ΔABD ( g.g)$

$⇔ AE.AD=AH.AB (1)$

$\text{Xét ΔACB vuông tại C ( vì có}$ $\widehat{ACB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ) 

có : CH là đường cao  nên $AC²=AH.AB$ ( AD hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (2)

$\text{Từ (1) và  (2) ta có :}$

$AC²=AE.AD$ ( cùng = AH.AB) (đpcm)

c/

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{BDF}$ ( góc tạo bởi tia TT và dây cung)

$\widehat{BDF}+\widehat{FDA}=90^0 ⇒\widehat{ABC}+\widehat{FDA}=90^0 $

Mặt khác: $\widehat{ABC}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{HCB})$

$⇒ \widehat{ACH}+\widehat{FDA}=90^o$

Lại có :

$\widehat{ACH}+\widehat{HCB}=90^0 $

$⇒ \widehat{HCB}=\widehat{FDA} hay \widehat{ECF}=\widehat{FDE}$

$\text{Xét tứ giác ECDF có :}$

$\widehat{ECF}=\widehat{FDE}$

Mà D,C là hai đỉnh liên tiếp nên tứ giác ECDF nội tiếp  ( dấu hiệu nhận biết ) 

$⇒\widehat{DEF}=\widehat{DCF}$ hay $\widehat{DEF}=\widehat{DCB}$ ( hai góc cùng chắn FD  )

mà  $\widehat{DCB}=\widehat{DAB}$( góc nội tiếp cùng chắn cung DB )

$⇒  \widehat{DEF}=\widehat{DAB}$  , hai góc lại ở ví trí đồng vị 

$⇒EF//AB$ (đpcm)