`a)`

xét tứ giác `AKMI` có

`hat(KAI)=hat(AIM)=hat(AKM)(=90^o)`

`=>AKMI` là hình chữ nhật

`b)`

ta có `AB⊥AC`

         `MI⊥AC`

`=>`$AB//MI$

xét `ΔABC` ta có

$AB//MI$

`BM=MC (g t)`

`=>AI=IC`

xét tứ giác `AMCE` có

`AI=IC (cmt)`

`MI=IE (g t)`

`=>AMCE` là hình bình hành

do đó $AE=MC;AE//MC(1)$

ta có `AC⊥AB`

         `MK⊥AB`

`=>`$AC//MK$

xét `ΔABC` có

$AC//MK$

`BM=MC (g t)`

`=>BK=AK`

xét tứ giác `AMBF` có

`BK=KA (cmt)`

`KM=KF (g t)`

`=>AMBF` là hình bình hành

do đó $AF=MB;AF//MB(2)$

mà `BM=MC;M∈BC(3)`

từ `(1);(2);(3)` suy ra `E` đối xứng với `F` qua `A`

`c)`

xét `ΔABC` có

`BK=AK`

`BM=MC`

`=>KM` là đường trung bình của `ΔABC`

do đó `KM=1/2 AC`

xét `ΔABC` có

`AI=IC`

`BM=MC`

`=>MI` là đường trung bình của `ΔABC`

do đó `MN=1/2 AB`

`AKMI` là hình vuông 

`<=>MK=MI` 

`=>2MK=2MK`

`=>AC=AB`

`=>ΔABC` cân tại `A`

mà `hat(BAC)=90^o`

`=>ΔABC` vuông cân tại `A`

vậy `AKMI` là hình vuông khi `ΔABC` vuông cân tại `A`