a) Tứ giác $BEFI$ có:

$\widehat{BIF}=90^o$ (giả thiết) suy ra $I$ thuộc đường tròn đường kính (BF)

$\widehat{BEF}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $E$ thuộc đường tròn đường kính (BF)

$\Rightarrow BEFI$ nội tiếp đường tròn đường kính (BF)

b) $AB\bot CD,\Delta OCD$ cân có OI là đường cao nên cũng là đường trung tuyến, nên I là trung điểm của CD

$\Delta ACD$ có $AI$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta ACD$ cân đỉnh A nên $AC=AD$

$\Rightarrow\widehat{ACF}=\widehat{AEC}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét $\Delta ACF$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ACF}=\widehat{AEC}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow\Delta ACF\sim\Delta AEC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AF}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AE.AF=AC^2$

c/ Gọi `N` là tâm đường tròn ngoại tiếp `\Delta CEF`
`H` và `K` là chân đường cao kẻ từ `N` xuống `EC` và `CF`
Dễ thấy `KH` là đường trung bình của `\Delta CEF` `\Rightarrow \hat{CHK}=\hat{CEF}`(SLT)
Lại có: `\hat{CHK}=\hat{CNK}` (tứ giác `CHNK` nội tiếp )
và `\hat{CEF}=\hat{CBA}` (cùng chắn cung `AC` của `(O)` )
`\Rightarrow\ \hat{CNK}=\hat{CBA}`
`\Rightarrow\ \hat{KCN}=\hat{KCB}`
`\Rightarrow\ C,N,B` thẳng hàng
hay `N` thuộc `BC` cố định

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a xét tứ giác BEFI

góc BEF =90 độ (góc nt chắn nửa đtr)

góc FIB=90 độ(gt)

suy ra góc BEF +FIB=90+90=180

vậy tứ giác BEFI nt 1 đtr( tổng 2 góc đối =180 độ)

b  xét tam giác IAF và tam giác EAB 

         A chung

 góc AIF=AEB =90 độ

suy ra 2 tam giác đồng dạng trg TH gg

suy ra hệ thức AI/AE=AF/AB

    suy ra AI.AB=AE.AF

xét tam giác ACB vuông tại C ,CI vuông góc vs AB

theo HTL trg tam giác vuông 

    AC^2=AI.AB

suy ra AC^2 =AI.AB (đpcm)