Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Với mọi x;y ta có:

$(x-y)^2 \geq 0 ⇒x^2+y^2 \geq 2xy ⇒\dfrac{x^2+y^2}{2} \geq xy$

$⇒-xy \geq -\dfrac{x^2+y^2}{2}$

$⇒4=x^2+y^2-xy \geq x^2+y^2-\dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{x^2+y^2}{2}$

$⇒x^2+y^2 \leq 8$

$A_{max}=8$ khi $x=y= \pm2$

Lại có:

$(x+y)^2 \geq 0 ⇒x^2+y^2 \geq -2xy ⇒-xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}$

$⇒4=x^2+y^2-xy \leq x^2+y^2 +\dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{3}{2}(x^2+y^2)$

$⇒x^2+y^2 \geq \dfrac{8}{3}$

$A_{min}=\dfrac{8}{3}$ khi $(x;y)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}};-\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right);\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)$

$x^2+y^2-xy=4 →2x^2+2y^2 - 2xy = 8 → (x-y)^2 + x^2+y^2 = 8$

$→ x^2+y^2 = 8 - (x-y)^2 ≤ 8$

Dấu $=$ xảy ra $⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ y=-2 & \end{matrix}\right.\end{array} \right.\) Vậy GTLN của $P=8 ⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ y=-2 & \end{matrix}\right.\end{array} \right.\)

`4=x^2+y^2-xy≤x^2+y^2+(x^2+y^2)/2=3(x^2+y^2)/2`

`=>x^2+y^2≥8/3`