Đáp án:

a) $DB=\dfrac{15}{7}cm, DC=\dfrac{20}{7}cm$

b) $S_{\triangle ADH}=\dfrac{72}{175}cm^2$

c) Tứ giác AEDF là hình vuông

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(cm)$

$\triangle ABC$ có đường phân giác AD

$\to\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\\\to DB=\dfrac{3}{4}DC$

Ta có:

$DB+DC=BC=5(cm)\\\to\dfrac{3}{4}DC+DC=5\\\to 7DC=20\\\to DC=\dfrac{20}{7}(cm)\to DB=\dfrac{3}{4}.\dfrac{20}{7}=\dfrac{15}{7}(cm)$

b)

$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.AB.AC\\\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3.4}{5}=2,4(cm)$

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$AH^2+HB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8(cm)$

$DB=HB+HD=\dfrac{15}{7}(cm)\\\to HD=\dfrac{15}{7}-1,8=\dfrac{12}{35}(cm)$

$\to S_{\triangle ADH}=\dfrac{1}{2}.AH.HD=\dfrac{1}{2}.2,4.\dfrac{12}{35}=\dfrac{72}{175}(cm^2)$

c)

Xét tứ giác AEDF:

$\widehat{EAF}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AED}=90^o\,\,\,(DE\bot AB)\\\widehat{AFD}=90^o\,\,\,(DF\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Mà AD là phân giác của $\widehat{EAF}$ (gt)

$\to$ Tứ giác AEDF là hình vuông (hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác của 1 góc)