a) Xét $\Delta BAN$ và $\Delta BAP$ có:

$BA$ chung

$\widehat{BAN}=\widehat{BAP}=90^o$ (do $BA$ là đường trung trực của $NP$)

$AN=AP$ (do $BA$ là đường trung trực của $NP$)

$\Rightarrow\Delta BAN=\Delta BAP$ (c.g.c)

$\Rightarrow BN=BP$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (1)

$\widehat{NBA}=\widehat{PBA}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\Delta BNP$ cân đỉnh N.

Xét $\Delta NMB\bot M$ có:

$\widehat M>\widehat{N}\Rightarrow BN>BM$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BP>BM$

(Cách khác: $\Delta BNP$ có $BA$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên $\Delta BNP$ cân đỉnh B.

$\Rightarrow BN=BP$

Mà $\Delta NMB\bot M\Rightarrow\widehat M>\widehat N\Rightarrow BN>BM$ (hai hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Kết hợp với BN=BP (chứng minh trên) $\Rightarrow BP>BM$)

b) Xét hai tam giác vuông $\Delta MBN$ và $\Delta CBP$ có:

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (đối đỉnh)

$BN=BP$ (chứng minh ở câu a)

$\Rightarrow\Delta MBN=\Delta CBP$ (cạnh huyền-góc nhọn)

c) Ta có: $\widehat{B_1}=\widehat B_2$ (đối đỉnh)

$\widehat{NBA}=\widehat{PBA} $ (chứng minh trên)

$\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{NBA}=\widehat{B_2}+\widehat{PBA}$

hay $\widehat{MBA}=\widehat{CBA}$

Xét $\Delta MBA$ và $\Delta CBA$ có:

$BM=BC$ (do $\Delta MBN=\Delta CBP$ chứng minh câu b)

$\widehat{MBA}=\widehat{CBA}$ (chứng minh trên)

$BA$ chung

$\Rightarrow\Delta MBA=\Delta CBA$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AB$ là phân giác $\widehat{MAC}$.