Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có:

+ $\Delta MDK$ với $AI//DK\Rightarrow \dfrac{AI}{DK}=\dfrac{MI}{MK}$

+ $\Delta MCK$ với $BI//CK\Rightarrow \dfrac{BI}{CK}=\dfrac{MI}{MK}$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{DK}=\dfrac{BI}{CK}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

 

Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có:

+ $\Delta NDK$ với $DK//BI\Rightarrow \dfrac{DK}{BI}=\dfrac{NK}{NI}$

+ $\Delta NCK$ với $CK//AI\Rightarrow \dfrac{CK}{AI}=\dfrac{NK}{NI}$

$\Rightarrow \dfrac{DK}{BI}=\dfrac{CK}{AI}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

 

Lấy $\left( 1 \right)$ nhân $\left( 2 \right)$, nhân vế theo vế

Ta được $\dfrac{AI}{DK}\cdot \dfrac{DK}{BI}=\dfrac{BI}{CK}\cdot \dfrac{CK}{AI}$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{BI}=\dfrac{BI}{AI}$

$\Rightarrow AI=BI$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $AB$

 

Từ $\left( 1 \right)$ có $\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{BI}{CK}$

Mà $AI=BI$

Nên $DK=CK$

Vậy $K$ là trung điểm $CD$