Đáp án:

a)  $AM:x+4y+4=0$

b)  $BH:2x+y-1=0$

c)  $S=3$

 

Giải thích các bước giải:

$A\left( 0;-1 \right)\,\,,\,\,B\left( 2;-3 \right)\,\,,\,\,C\left( 2;0 \right)$

 

a)

$AM$ là trung tuyến

Nên $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow M\left( 2;-\dfrac{3}{2} \right)$

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 2;-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}\left( 4;-1 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AM}}}=\left( 4;-1 \right)$ là VTCP của đường trung tuyến $AM$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{AM}}}=\left( 1;4 \right)$ là VTPT của đường trung tuyến $AM$

 

Ta có đường trung tuyến $AM$:

+ Nhận $\overrightarrow{{{n}_{AM}}}=\left( 1;4 \right)$ làm VTPT

+ Đi qua điểm $A\left( 0;-1 \right)$

Nên phương trình đường trung tuyến $AM$ có dạng:

$AM:1\left( x-0 \right)+4\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow AM:x+4y+4=0$

 

b)

Ta có $\overrightarrow{AC}=\left( 2;1 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AC}}}=\left( 2;1 \right)$ là VTCP của đường thẳng $AC$

Ta có đường cao $BH\bot AC$

Nên VTPT $\overrightarrow{{{n}_{BH}}}$  của đường cao $BH$ là VTCP $\overrightarrow{{{u}_{AC}}}$ của đường thẳng $AC$

Do đó $\overrightarrow{{{n}_{BH}}}=\overrightarrow{{{u}_{AC}}}=\left( 2;1 \right)$

 

Ta có đường cao $BH$:

+ Nhận $\overrightarrow{{{n}_{BH}}}=\left( 2;1 \right)$ làm VTPT

+ Đi qua điểm $B\left( 2;-3 \right)$

Nên phương trình đường cao $BH$ có dạng:

$BH:2\left( x-2 \right)+1\left( y+3 \right)=0\Leftrightarrow BH:2x+y-1=0$

 

c)

Với $A\left( 0;-1 \right)\,\,,\,\,B\left( 2;-3 \right)\,\,,\,\,C\left( 2;0 \right)$

+ $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}$

+ $\overrightarrow{AC}=\left( 2;1 \right)\Rightarrow AC=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}$

+ $\overrightarrow{BC}=\left( 0;3 \right)\Rightarrow BC=\sqrt{{{0}^{2}}+{{3}^{2}}}=3$

Nữa chu vi $\Delta ABC$: $p=\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}+3}{2}$

Diện tích $\Delta ABC$: $S=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=3$