Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\
 \Rightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\\
b)Xét:\Delta ABI;\Delta HBI:\\
 + \widehat {BAI} = \widehat {BHI} = {90^0}\\
 + BI\,chung\\
 + \widehat {ABI} = \widehat {HBI}\\
 \Rightarrow \Delta ABI = \Delta HBI\left( {ch - gn} \right)\\
c)AH \cap BI = M\\
Do:\Delta ABI = \Delta HBI\\
 \Rightarrow AB = HB\\
Xét\,\Delta ABM;\Delta HBM:\\
 + AB = HB\\
 + BM\,chung\\
 + \widehat {ABM} = \widehat {HBM}\\
 \Rightarrow \Delta ABM = \Delta HBM\left( {c - g - c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {HMB} = {90^0};AM = HM
\end{array}$

=> BI là đường trung trực của AH

d)

Trong tam giác IHC vuông tại H có: IH < IC

Mà IA = IH (do tg ABI = HBI)

=> IA < IC

e)

Tam giác BKC có 2 đường cao KH và CA cắt nhau tại I

=> I là trực tâm tam giác BKC.