GT ΔABC vuông tại A ; BC là phân giác của ∠B ; MD ⊥ BC ( D ∈ BC) 

     DM ∩ BC = {E}

     DH ⊥ MC ( H ∈ MC) ; AK ⊥ ME ( K ∈ ME );DH ∩ AK={N}

KL BA=BD 

    ΔABC=ΔDBE

     MN là phân giác ∠HMK

     B,M,N thẳng hàng

Chứng minh : 

a)  Có : ΔABC vuông tại A ( gt) ⇒ ∠BAC = $90^{o}$ 

     Có: MD ⊥ BC (gt) ⇒ ∠BDM=$90^{o}$

     Có: BM là phân giác của ∠B (gt) ⇒ ∠ABM=∠DBM

      Xét ΔABM và ΔBDM có :

    +) ∠BDM=∠BAC=$90^{o}$ (cmt)

    +) ∠ABM=∠DBM (cmt)

     +) BM là cạnh chung

⇒ ΔABM= ΔDBM ( cạnh huyền -góc nhọn)

⇒ AM=MD ( 2 cạnh tương ứng )

  ∠AMB=∠DMB ( 2 góc tương ứng )

   BA=BD ( 2 cạnh tương ứng) ( đpcm)

b)  Xét ΔABC và ΔDBE có : 

    +) ∠BDM=∠BAC=$90^{o}$ (cmt)

    +) ∠B chung 

    +) BA=BD ( cmt)

⇒ ΔABC=ΔDBE ( cạnh góc vuông - góc nhọn) (đpcm)

c)   Có: ∠AMB=∠HMN ( đối đỉnh)

            ∠DMB=∠KMN ( đối đỉnh)

mà ∠AMB=∠DMB (cmt)

⇒ ∠HMN=∠KMN 

mà MN nằm giữa MK và MC 

⇒ MN là phân giác của ∠KMH ( đpcm)   (1)

d)  Có : ∠AMB=∠DMB (cmt) 

mà MB nằm giữa MA và MD 

⇒ MB là phân giác của ∠AMD   (2)

mà ∠KMH =∠AMD ( đối đỉnh)  (3)

Từ (1) ,(2),(3) 

⇒  MB và MN là 2 tia đối nhau 

⇒ M,B,N thẳng hàng