Đáp án:

$a)BC:  4x+4y+4=0$
b) $AH: 4x-4y+4=0$
c)
$d(A,BC)=3\sqrt{2}$
d)
$(x-1)^2+(y-1)^2=5$
e)
$d: 8x+2y+2=0$

Giải thích các bước giải:

$a) \overrightarrow{BC}=(4;-4)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(4;4)$
Phương trình đường thẳng BC đi qua $B(0;-1)$ và nhận $\overrightarrow{n_{BC}}=(4;4)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$4(x-0)+4(y+1)=0\\
\Leftrightarrow 4x+4y+4=0$
b) Do $AH\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{n_{AH}}=\overrightarrow{u_{BC}}=(4;-4)$
Phương trình đường cao AH đi qua $A(2;3)$ và nhận $\overrightarrow{n_{AH}}=(4;-4)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$4(x-2)-4(y-3)=0\\
\Leftrightarrow 4x-8-4y+12=0\\
\Leftrightarrow 4x-4y+4=0$
c)
$d(A,BC)=\dfrac{|4.2+4.3+4|}{\sqrt{4^2+4^2}}=3\sqrt{2}$
d)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4)\Rightarrow AB=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}\\
\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
Gọi I là trung điểm của AB đồng thời I cũng là tâm của đường tròn $\Rightarrow I(1;1)$
Phương trình đường tròn có tâm $I(1;1)$ và $R=\sqrt{5}$ có dạng
$(x-1)^2+(y-1)^2=5$
e)
$\overrightarrow{AC}=(2;-8)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AC}}=(8;2)$
Do $d// AC\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{n_{AC}}=(8;2)$
Phương trình đường thẳng d đi qua $B(0;-1)$ và nhận $\overrightarrow{n_d}=(8;2)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$8(x-0)+2(y+1)=0\\
\Leftrightarrow 8x+2y+2=0$