Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:a)  Tứ giác ABMN có:

AM cắt BN tại trung điểm của mỗi đường => Tứ giác ABMN là hình bình hành => AM= BM

 b) Vì ABMN là hbh => góc PAB = góc ANM (1) 

và AB // MN mà AB vuông góc với AC => MN vuông góc với AC => ∆ AIN vuông tại I 

=> góc IAN + góc INA = 90 độ  hay góc CAN + góc ANM = 90độ (2) 

Từ (1)  và (2)  => góc PAB + góc CAN = 90 độ 

Ta có góc PAN = góc PAB + góc CAN+góc BAC= 180 độ

=> P, A, N thẳng hàng

Chứng minh tương tự câu a)  tứ giác có 2 đường chéo AM và PC cặt nhau tại thời điểm mỗi đường => PMCA là hb hành

=>PA= MC

Mà NA= BM ( ABMN là hbh) và BM= MC

=> PA= NA => A là trung điểm của NP

c) MN // AB ( ABMN là hbh câu a) 

AB vuông góc AC

=> MN vuông góc AC

 d)  nếu AB= AC => ∆ ABC vuông cân tại A => AM là đường phân giác của góc BAC => góc MAC = góc ACM = 45 độ

=> ∆ AMC vuông cân tại M 

=> AM vuông góc với BC

Mà AN // BM (ABMN là hbh)

=> AM vuông góc với AN hay AM vuông góc với PN  (3) 

Xét tứ giác AMCN có

AN // và = MC => AMCN là hbh

Mà AM vuông góc với MC => hbh AMCN là hcn

=> MN = AC (hcn có 2 đường chéo bằng nhau) (*) 

Tương tự: => MP = AB ( hcn có 2đường chéo bằng nhau) (**) 

mà AB= AC ( giả thiết) (***) 

Từ (*), (**), (***)  suy ra: MP = MN(4) 

Từ (3), (4)  suy ra AM là trung trực của đoạn thẳng NP