Đáp án: 2.$\left(x-\dfrac32\right)^2+\left(y-\dfrac32\right)^2=\dfrac12$

             3.$D\left(\dfrac53,\dfrac53\right)$

Giải thích các bước giải:

1.Ta có :

$AB=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(1-1\right)^2}=1$

$BC=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(1-3\right)^2}=\sqrt{5}$

$CA=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(3-1\right)^2}=2$

$\to BC$ là cạnh lớn nhất

Mà $CA-AB<BC<AB+AC$

$\to A,B,C$ là 3 đỉnh của một tam giác

2.Gọi $M$ là trung điểm $AB\to M\left(\dfrac32,1\right)$

Ta có $\vec{AB}=\left(1,0\right)$

Gọi $\left(\Delta\right)$ là trung trực của $AB\to \left(\Delta\right)\perp AB, M\in \left(\Delta \right)$

$\to $Phương trình trung trực của $AB$ là : 

$\left(\Delta\right): 1\left(x-\dfrac32\right)+0\left(y-1\right)=0$

$\to x-\dfrac32=0$

Gọi $\left(O\right)$ là tâm đường tròn thỏa mãn đề

$\to$Tọa độ của $\left(O\right)$ là nghiệm của hệ

$\begin{cases}x-y=0\\ x-\dfrac32=0\end{cases}$

$\to x=y=\dfrac32$

$\to O\left(\dfrac32,\dfrac32\right)$

$\to $Phương trình đường tròn (T) là :

$\left(x-\dfrac32\right)^2+\left(y-\dfrac32\right)^2=OA^2=\left(1-\dfrac32\right)^2+\left(1-\dfrac32\right)^2$

$\to \left(x-\dfrac32\right)^2+\left(y-\dfrac32\right)^2=\dfrac12$

3.Vì $D$ là phân chân đường phân giác trong góc $A$ của $\Delta ABC$

$\to \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac12$

$\to \dfrac{DB}{DB+DC}=\dfrac1{1+2}$

$\to \dfrac{DB}{BC}=\dfrac13$

$\to BD=\dfrac13BC$

$\to \vec{BD}=\dfrac13\vec{BC}$

$\to \left(x_d-2,y_d-1\right)=\dfrac13\left(1-2,3-1\right)$

$\to \left(x_d-2,y_d-1\right)=\dfrac13\left(-1,2\right)$

$\to \left(x_d-2,y_d-1\right)=\left(-\dfrac13,\dfrac23\right)$

$\to \left(x_d,y_d\right)=\left(\dfrac53,\dfrac53\right)$

$\to D\left(\dfrac53,\dfrac53\right)$