Đáp án:

$a) AB 5x+2y-13=0$
$BC: -3x+3y+12=0$
b)
 $AH: 3x+3y-15=0$
c)
$d(A,BC)=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$

Giải thích các bước giải:

$a)\overrightarrow{AB}=(2;-5)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(5;2)\\
\overrightarrow{BC}=(3;3)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(-3;3)$
Phương trình đường AB đi qua $A(1;4)$ và nhận $\overrightarrow{n_{AB}}=(5;2)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$5(x-1)+2(y-4)=0\\
\Leftrightarrow 5x-5+2y-8=0\\
\Leftrightarrow 5x+2y-13=0$
Phương trình đường BC đi qua $B(3;-1)$ và nhận $\overrightarrow{n_{BC}}=(3;3)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$-3(x-3)+3(y+1)=0\\
\Leftrightarrow -3x+9+3y+3=0\\
\Leftrightarrow -3x+3y+12=0$
b)
ta có $AH\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{n_{AH}}=\overrightarrow{u_{BC}}=(3;3)$
phương trình đường cao AH đi qua $A(1;4)$ và nhận $\overrightarrow{n_{AH}}=(3;3)$ làm veto pháp tuyến có dạng
$3(x-1)+3(y-4)=0\\
\Leftrightarrow 3x-3+3y-12=0\\
\Leftrightarrow 3x+3y-15=0$
c)
$d(A,BC)=\dfrac{|(-3).1+3.4+12|}{\sqrt{(-3)^2+3^2}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$