Giải thích các bước giải:

Ta có:

 14,

Bất phương trình đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
x \ne 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 1\\
x \ne 2
\end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của bất phương trình đã cho là \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(\begin{array}{l}
15,\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x \ge {\left( {x + 1} \right)^2}\\
x < m
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x \ge {x^2} + 2x + 1\\
x < m
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x < m
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow 1 \le x < m
\end{array}\)

Suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m > 1\)

Do đó, các số nguyên \(m\) nhỏ hơn \(2019\) thỏa mãn là \(m \in \left\{ {2;3;4;5;....;2018} \right\}\)

Vậy có \(2017\) số nguyên \(m\) thỏa mãn.