Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)

$\to AB\perp OB, AC\perp OC$ 

$\to \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o$

$\to ABOC$ nội tiếp

b.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)

$\to OA$ là phân giác $\widehat{BOC}$

$\to \widehat{AOC}=\widehat{AOB}=\dfrac12\widehat{BOC}$

$\to \widehat{BIC}=\dfrac12\widehat{BOC}=\widehat{AOC}$

c.Vì $E$ là trung điểm $MN\to OE\perp ME\to OE\perp AE\to\widehat{AEO}=\widehat{ABO}=90^o$

$\to ABEO$ nội tiếp

$\to A,B,E,O,C$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{AEC}=\widehat{AOC}=\widehat{BIC}\to BI//ME\to BI//MN$

d.Gọi $AO\cap BC=H$

Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)

$\to AO\perp BC=H$ là trung điểm $BC$

Ta có $BH\perp AO, AB\perp OB$

$\to OB^2=OH.OA\to R^2=OH.2R\to OH=\dfrac12R$

$\to AH=\dfrac32R$

$\to BH^2=HA.HO=\dfrac34R^2\to BH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

Khi quay $\Delta ABC $ quanh cạnh $AO$ ta được hình chóp có đường cao $AH=\dfrac32R,$ bán kính đáy $r=BH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

$\to$Thể tích hình chóp vừa sinh ra là:

$V=\pi r^2\cdot AH=\pi\cdot\dfrac{3R^2}{4}\cdot \dfrac32R=\dfrac{27\pi R^3}{8}$

$d_2.$Vì $BI//AN\to OE\perp BI$

Gọi $OE\cap BI=D\to D$ là trung điểm BI

Gọi $AO\cap (O)=F$

Vì $AO=2R\to F$ là trung điểm AO

Mà $\Delta ABO$ vuông tại $B\to BF=FO=FA=\dfrac13AO=R$

$\to \Delta BOF$ đều

$\to \widehat{BOF}=60^o\to \widehat{AOC}=60^o\to \widehat{BAC}=60^o,\widehat{BEC}=\widehat{BOC}=120^o$

$\to \widehat{BIE}=\widehat{AOC}=60^o,\widehat{BEI}=180^o-\widehat{BEC}=60^o$

$\to BEI$ đều
Mà $ED\perp BI\to DB=\dfrac12BI$

Gọi $BI=x\to DB=\dfrac12x, ED=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$
Mà $BD^2+DO^2=OB^2$

$\to (\dfrac12x)^2+(DE+EO)^2=R^2$

$\to\dfrac{x^2}{4}+(\dfrac{x\sqrt{3}}{2}+\dfrac{R}{2})^2=R^2$

$\to x=\dfrac{R\left(\sqrt{15}-\sqrt{3}\right)}{4}$