a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ óc:

$AB=AC$ (giải thiết)

$AH$ chung

$BH=CH$ (do giải thiết cho $H$ là trung điểm của $BC$)

$\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH$ (c.c.c)

 

b) Theo chứng minh ở câu a $\Delta ABH=\Delta ACH$

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (2 góc tương ứng)

Hay $\widehat{EAH}=\widehat{FAH}$

Xét $\Delta$ vuông $AHE$ và $\Delta$ vuông $AHF$ có:

$\widehat{EAH}=\widehat{FAH}$

$AH$ chung

$\Rightarrow \Delta$ vuông $AHE=\Delta$ vuông $AHF$ (cạnh huyền-góc nhọn)

 

c) Do $\Delta$ vuông $AHE=\Delta$ vuông $AHF\Rightarrow HE=HF$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $\Delta $ vuông $HEM$ và $\Delta$ vuông $HFN$ có:

$HE=HF$

$\widehat{EHM}=\widehat{FHN}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta $ vuông $HEM=\Delta$ vuông $HFN$ (cạnh góc vuông-góc nhọn)

$\Rightarrow ME=NF$ (2 cạnh tương ứng)

Và $MH=NH$ (2 cạnh tương ứng) và có $HE=HF$ (chứng minh ở trên)

$MF=MH+HF=NH+HE=NE$ (điều phải chứng minh)

  

d) Ta có $ME=NF$ và $AE=AF$

Nên $AM=AE+ME=AF+NF=AN$

$AM=AN\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh $A$

nên $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$

Theo tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác $\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{A}=180^o$

$\Rightarrow 2\widehat{AMN}+\widehat A=180^o$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$ (1)

Tương tự ta có $AE=AF\Rightarrow \Delta AEF$ cân đỉnh $A$

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{AEF}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên

$MN\parallel EF$ (đpcm).