Đáp án:

 1) $n=\{-1;0;1;2\}$ thì phân số đã cho là số nguyên

Giải thích các bước giải:

$1)
\dfrac{2n+5}{2n-1}=\dfrac{2n-1+6}{2n-1}=1+\dfrac{6}{2n-1}$
Để $\dfrac{2n+5}{2n-1}$ là nguyên thì $\dfrac{6}{2n-1}$ phải là số nguyên 
$\Leftrightarrow 6\vdots (2n-1)$ hay $2n-1\in U(6) $
Mà $U(6)=\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\}$
$+) 2n-1=-6\Leftrightarrow 2n=-6+1=-5\Leftrightarrow n=\dfrac{-5}{2}(KTMĐK)\\
+) 2n-1=-3\Leftrightarrow 2n=-3+1=-2\Leftrightarrow n=-1\\
+) 2n-1=-2\Leftrightarrow 2n=-2+1=-1\Leftrightarrow n=\dfrac{-1}{2}(KTMĐK)\\
+) 2n-1=-1\Leftrightarrow 2n=-1+1=0\Leftrightarrow n=0\\
+) 2n-1=6\Leftrightarrow 2n=6+1=7\Leftrightarrow n=\dfrac{7}{2}(KTMĐK)\\
+) 2n-1=3\Leftrightarrow 2n=3+1=4\Leftrightarrow n=2\\
+) 2n-1=2\Leftrightarrow 2n=2+1=3\Leftrightarrow n=\dfrac{3}{2}(KTMĐK)\\
+) 2n-1=1\Leftrightarrow 2n=1+1=2\Leftrightarrow n=1$
Vậy $n=\{-1;0;1;2\}$ thì phân số đã cho là số nguyên
2)
Gọi d là UCLN của $2n+1$ và $5n+2$
$\Rightarrow 2n+1\vdots d\\
\Leftrightarrow 10n+5\vdots d
\Rightarrow 5n+2\vdots d\\
\Leftrightarrow  10n+4\vdots d\\
\Rightarrow (10n+5)-(10n+4)\vdots d\\
\Leftrightarrow 1\vdots d\\
\Leftrightarrow d=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{2n+1}{5n+2}$ là phân số tối giản