Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $BC$ là đường kính của $(O)\to BE\perp EC, CF\perp BF$

$\to \widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn tâm $I$ vì $I$ là trung điểm $AH$

Ta có: $BE\perp AC, CF\perp AB, BE\cap CF=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC\to AD\perp BC$

b.Ta có:

$\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{BEO}=\widehat{IHE}+\widehat{BEO}=\widehat{AHE}+\widehat{EBO}=\widehat{AFE}+\widehat{EBC}=\widehat{ECB}+\widehat{EBC}=90^o$

$\to IE\perp EO$

Tương tự $IF\perp FO$

$\to \widehat{IEO}=\widehat{IFO}=90^o$

$\to OEIF$ nội tiếp đường tròn đường kính $OI$

Ta có:

$\widehat{HFB}=\widehat{HDB}=90^o\to HFBD$ nội tiếp 

$\to \widehat{HFD}=\widehat{HBD}=\widehat{EBC}=\widehat{EFC}$

$\to FC$ là phân giác $\widehat{EFD}$

$\to \widehat{EFD}=2\widehat{HFD}=2\widehat{HBD}=2\widehat{EBC}=\widehat{EOC}$

$\to OEFD$ nội tiếp 

Lại có $OEIF$ nội tiếp

$\to O, D, F, I, E\in$ một đường tròn

c.Ta có $O$ là trung điểm $BC\to OB=OC=\dfrac12BC=3$

$\to OE=OF=3$

Do $AEHF$ nội tiếp $(I)$

$\to \widehat{FIE}=2\widehat{FAE}=120^o$

Vì $I, E, O, D, F$ cùng thuộc một đường tròn và $OE=OF$

$\to IO$ là phân giác $\widehat{EIF}$

$\to \widehat{EIO}=\dfrac12\widehat{EIF}=50^o$

Lại có $IE\perp EO$

$\to \Delta OEI$ là nửa tam giác đều cạnh $OI$

$\to OE=\dfrac{OI\sqrt3}2$

$\to OI=\dfrac{2OE}{\sqrt3}=2\sqrt3$