`1.`

Áp dụng định lý `Py-ta-go` vào `ΔABC` vuông tại `A`

`AC²=AB²+BC²=4²+4²=32`

`⇒AC=\sqrt{32}`  `(cm)`

`ABCD` là hình vuông

`⇒AC=BD=\sqrt{32}cm`

`2.`

`ABCD` là hình chữ nhật

`⇒AD=BC=\sqrt{27}cm`

Áp dụng định lý `Py-ta-go` vào `ΔABC` vuông tại `A`

`AC²=AB²+BC²=3²+(\sqrt{27})²=36`

`⇒AC=6`  `(cm)`

`3.` 

`BC=HB+HC=4+9=13`  `(cm)`

Áp dụng định lý `Py-ta-go` vào `ΔABH` vuông tại `H`

`AB²=AH²+HB²=6²+4²=52`

`⇒AB=\sqrt{52}`   `(cm)`

Áp dụng định lý `Py-ta-go` vào `ΔACH` vuông tại `H`

`AC²=AH²+HC²=6²+9²=117`

`⇒AC=\sqrt{117}`  `(cm)`

Lời giải chi tiết:

Bài `1:`

Vì `\text{ABCD}` là hình vuông nên các góc ở các đỉnh `\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}` là góc vuông

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông ta có`:`

`***bb\triangle\text{ACD}:`

`\text{AC}^2=\text{AD}^2+\text{CD}^2`

`=>\text{AC}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}~~5,7` `(\text{cm})`

`***bb\triangle\text{ABD}:`

`\text{BD}^2=\text{AD}^2+\text{AB}^2`

`=>\text{BD}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}~~5,7` `(\text{cm})`

Vậy `\text{AC}=\text{BD}~~5,7\text{cm}.`

Bài `2:`

Vì `\text{ABCD}` là hình chữ nhật nên các góc ở các đỉnh `\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}` là góc vuông và `AD=BC=\sqrt{27}\text{cm}` và `\text{AB}=\text{CD}=3\text{cm}`

Xét `\triangle\text{ABC}` vuông tại `\text{A}` ta có`:`

`\text{AC}^2=\text{AD}^2+\text{CD}^2` `(`Định lí Py-ta-go`)`

`=>\text{AC}=\sqrt{\sqrt{27}^2+3^2}=\sqrt{36}=6\text{(cm)}`

Vậy `\text{AC}=6\text{cm}.`

Bài `3:`

Ta có`:`

`\text{BC}=\text{HB}+\text{HC}=4+9=13\text{(cm)}`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông ta có`:`

`***\triangle\text{ABH}:`

`\text{AB}^2=\text{AH}^2+\text{BH}^2`

`=>\text{AB}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}~~7,2` `(\text{cm})`

`***\triangle\text{ACH}:`

`\text{AC}^2=\text{AH}^2+\text{CH}^2`

`=>\text{AC}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}~~10,8` `(\text{cm})`
Vậy `\text{AB}~~7,2\text{cm};\text{AC}~~10,8\text{cm};\text{BC}=13\text{cm}.`