a, Vì △ABC vuông tại A

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)(Định lý Py-ta-go)

\(\Rightarrow9^2+12^2=BC^2\)

\(\Rightarrow81+144=BC^2\)

\(\Rightarrow BC^2=225\)

\(\Rightarrow BC=15\left(cm\right)\)

b, Vì BD là phân giác \(\widehat{ABC}\) (GT)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{MBD}\)

Xét △ABD vuông tại A và △MBD vuông tại M có

\(\widehat{BAD}=\widehat{MBD}\)

Cạnh BD chung

\(\Rightarrow\)△ABD = △MBD (cạnh huyền - góc nhọn)

c, ( giao điểm của DM và AB nhé!)

Vì △ABD = △MBD (cmt)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=MD\\AB=BM\end{matrix}\right.\)(hai cạnh tương ứng)

Xét △ADE và △MDC có

\(\widehat{DAE}=\widehat{DMC}\left(=90^0\right)\)

\(AD=MD\)

\(\widehat{ADE}=\widehat{MDC}\) (Đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)△ADE = △MDC \(\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AE=MC\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có : \(AB+AE=BE;MB+MC=BC\)

mà \(AE=MC;AB=MB\)

\(\Rightarrow BE=BC\)

\(\Rightarrow\)△BEC cân tại B

d, Vì K là trung điểm của EC ( ko phải giao điểm!)

\(\Rightarrow EK=CK\)

Xét △BKE và △BKC có:

BK chung

BE = BC

EK = EC

\(\Rightarrow\) △BKE = △BKC \(\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EBK}=\widehat{CBK}\) (2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) BK là phân giác \(\widehat{ABC}\)

Mà BD cũng là phân giác \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\)B ; D ; K thẳng hàng.