a)

Tứ giác $BEDC$ có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $

Nên $BEDC$ nội tiếp với đường kính $BC$

Do đó $B,E,D,C$ cùng thuộc một đường tròn

 

b)

Vì $BEDC$ nội tiếp với đường kính $BC$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

Nên $M$ là tâm đường tròn của tứ giác $BEDC$

Do đó $ME=MD=MB=MC$

Nên $\Delta MDE$ cân tại $M$

Có $MN$ là đường trung tuyến

Do đó $MN$ cũng là đường cao

Vậy $MN\bot ED$

 

c)

Gọi $H$ là giao điểm hai đường cao $BD,CE$

$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow AH\bot BC$

 

Tứ giác $AEHD$ có $\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

Nên $AEHD$ nội tiếp

Do đó $\widehat{EDH}=\widehat{EAH}$ (cùng chắn cung $EH$)

 

Ta có $MB=MD\left( cmt \right)$

Nên $\Delta MBD$ cân tại $M$

Do đó $\widehat{MDB}=\widehat{MBD}$

Mà $\widehat{MBD}=\widehat{CAH}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

Nên $\widehat{MDB}=\widehat{CAH}$

 

Ta có $\Delta MDE$ cân tại $M$ $\left( cmt \right)$

Nên để $\Delta MDE$ là tam giác đều

Thì $\widehat{EDM}=60{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{EDH}+\widehat{MDB}=60{}^\circ $

Mà: $\begin{cases}\widehat{EDH}=\widehat{EAH}\\\widehat{MDB}=\widehat{CAH}\end{cases}\,\,\,\,\,\left(cmt\right)$

Nên $\widehat{EAH}+\widehat{CAH}=60{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{BAC}=60{}^\circ $

Vậy $\Delta ABC$ cần có thêm $\widehat{BAC}=60{}^\circ $ thì $\Delta MDE$ là tam giác đều