Đáp án:

a) Xét ΔAMH và ΔAHB có:

+ góc AMH= góc AHB = 90 độ

+ góc MAH chung

=> ΔAMH ~ ΔAHB (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AH}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}\\
 \Rightarrow AM.AB = A{H^2}
\end{array}$

b)

Tương tự ý a ta cm được: 

ΔANH ~ ΔAHC (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AH}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\\
 \Rightarrow AN.AC = A{H^2}
\end{array}$

=> AM. AB = AN.AC

c)

Ta có AMHN có 3 góc vuông 

=> AMHN là hình chữ nhật

=> AH = MN = 6cm

$\begin{array}{l}
Xét:\Delta AMN;\Delta ACB:\\
 + AM.AB = AN.AC\\
 + \widehat {BAC}\,chung\\
 \Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ACB\left( {c - g - c} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ACB}}}} = {\left( {\dfrac{{MN}}{{BC}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{6}{9}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\\
 \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{2}{9}.6.9 = 12\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$

d)

Dễ thấy trên hình vẽ 3 đường thẳng ko đồng quy.

(Em xem lại đề bài)