Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AD$ là đường kính của $(O)$

$\to DB\perp AB, DC\perp AC$

$\to DB//CH, DC//BH$

$\to BHCD$ là hình bình hành

$\to HD\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Do $M$ là trung điểm $BC$

$\to M$ là trung điểm $HD$

Gọi $HP\cap BC=I$

Ta có: $AD$ là đường kính của $(O)\to AK\perp KD$
Mà $AH\perp BC\to AK\perp BC$

$\to BC//KD$

$\to MI//DP$

Do $M$ là trung điểm $HD$

$\to I$ là trung điểm $HP$

Ta có: $\widehat{HEP}=\widehat{HKP}=90^o$

$\to HEPK$ nội tiếp đường tròn đường kính $HP$

Mà $I$ là trung điểm $HP, I\in BC$

$\to  $Tâm $I$ của đường tròn thuộc đường thẳng $BC$

$\to đpcm$
b.Ta có: $O, M$ là trung điểm $AD, HD$

$\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHD$

$\to AH=2OM$

c.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Xét $\Delta LBF,\Delta LEC$ có:

Chung $\hat L$

$\widehat{LBF}=\widehat{LEC}$ vì $BCEF$ nội tiếp

$\to \Delta LBF\sim\Delta LEC(g.g)$

$\to\dfrac{LB}{LE}=\dfrac{LF}{LC}$

$\to LB\cdot LC=LE\cdot LF$

Gọi $LK\cap (O)=T'$

Xét $\Delta LBK,\Delta LCT'$ có:

Chung $\hat L$

$\widehat{LBK}=\widehat{LCT'}$ vì $BKT'C$ nội tiếp $(O)$
$\to \Delta LBK\sim\Delta LT'C(g.g)$

$\to\dfrac{LB}{LT'}=\dfrac{LK}{LC}$

$\to LB\cdot LC=LT'\cdot LK$

$\to LT'\cdot LK=LE\cdot LF$

$\to \dfrac{LT'}{LE}=\dfrac{LF}{LK}$

Mà $\widehat{FLK}=\widehat{ELT'}$

$\to \Delta LFK\sim\Delta LT'E(c.g.c)$

$\to \widehat{LFK}=\widehat{LT'E}$

$\to FET'K$ nội tiếp

$\to T'=(EFK)\cap (O)$

$\to T'\equiv T$

$\to L, K, T$ thẳng hàng