Bài 40:

Ta có: A = 13^19 +1 / 13^18 +1

  ⇒ 1/13 A =   13^19 +1 / 13. (13^18 +1)

  ⇒ 1/13 A =  13^19 +1  / 13^19 +13

  ⇒ 1/13 A =  13^19 + 13 -12  / 13^19 + 13

  ⇒ 1/13 A =   1 -  12/13^19 + 13

Tương tự với B, ta có:  1/13 B = 1 - 12/13^20 + 13

Ta thấy: 13^19 + 13 < 13^20 + 13   (do 13^19 < 13^20)

  ⇒      12/ 13^19 + 13 > 12/ 13^20 + 13   (so sánh cùng tử bạn nhé)

  ⇒     1 - 12/ 13^19 + 13 < 1 - 12/ 13^20 + 13 

  ⇒            1/13 A < 1/13 B

  ⇒                  A < B

Vậy A < B

Bài 41: 

a) Gọi d là ƯC ( 6n+5, 3n+2 ), d ∈ N*

⇒ 6n+5 chia hết d  và  3n+2 chia hết d

⇒ 6n+5 chia hết d  và  2(3n+2) chia hết d

⇒ 6n+5 chia hết d  và   6n+4 chia hết d

⇒ (6n+5)-(6n+4) chia hết d

⇒ 6n+5-6n-4 chia hết d

⇒   1 chia hết d mà d ∈ N*

⇒  d=1

⇒ (6n+5, 3n+2)=1

⇒ p là phân số tối giản (đpcm)

b) Ta có: 6n+5 / 3n+2  

           = 2.(3n+2)+1 / 3n+2

           =  2 + 1/3n+2

Để p đạt giá trị lớn nhất ⇔  1/3n+2 đạt giá trị lớn nhất

Mặt khác, n ∈ N  ⇒  3n+2 ∈ N  mà 3n+2 là mẫu số

                            ⇒   3n+2 > 0

                            ⇒     3n > -2    ⇒    n > -1 

Lại có: 1/3n+2 đạt giá trị lớn nhất  ⇔   3n+2 là số nguyên dương nhỏ nhất 

  +) Nếu 3n+2 = 1  ⇒  n = -1/3 (loại do n ∈ N)

  +) Nếu 3n+2 = 2  ⇒  n = 0  (thỏa mãn n ∈ N và n > -1)

Khi đó. p = 6.0+5 / 3.0+2 = 5/2

Vậy Max p = 5/2  ⇔ n = 0

Bài 42:

 Gọi d là ƯC ( 5n+6, 8n+7), d ∈ N*

⇒ 5n+6 chia hết d   và  8n+7 chia hết d

⇒ 8(5n+6) chia hết d  và   5(8n+7) chia hết d

⇒  40n + 48 chia hết d  và  40n+35 chia hết d

⇒  (40n+48)-(40n+35) chia hết d

⇒   40n+48-40n-35 chia hết d

⇒    13 chia hết d mà d ∈ N*

⇒  d ∈ Ư(13) = {1,13}

Để A là phân số rút gọn được  ⇔  d = 13

⇒ 5n+6 chia hết 13

⇒ 5n+6+39 chia hết 13  (vì 39 chia hết 13)

⇒  5n+45 chia hết 13

⇒  5(n+9) chia hết 13 mà 5 ko chia hết 13

⇒  n+9 chia hết 13

⇒  n+9 = 13k (k ∈ N)

⇒       n = 13k-9 (k ∈ N)

Khi đó, 5n+6 = 5(13k-9)+6 = 65k-45+6 = 65k-39 = 13(5k-3) chia hết 13 (thỏa mãn)

Vậy A là phân số rút gọn được ⇔ n = 13k-9 (k ∈ N)

*Tick cho mik nha, mik mất công sức nhìu rồi đó, chúc bạn học tốt nhé!*

 

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: