1)

Nhìn vào hình vẽ, có thể thấy như sau:

+   $GE<GF$ nên $\dfrac{GE}{GF}<1$

+   $BF>CE$ nên $\dfrac{BF}{CE}>1$

Điều đó chứng tỏ $\dfrac{GE}{GF}$ không thể bằng $\dfrac{BF}{CE}$

Sửa đề: Ta sẽ chứng minh $\dfrac{GE}{GF}=\dfrac{CE}{BF}$

 

Ta có $BDSC$ nội tiếp

Nên $\widehat{SCD}=\widehat{SBD}$ (cùng chắn cung $SD$)

Tức là $\widehat{SCE}=\widehat{SBF}$

 

Ta có $FDSE$ nội tiếp

Nên $\widehat{SED}=\widehat{SFD}$ (cùng chắn cung $SD$)

Túc là $\widehat{SEC}=\widehat{SFB}$

(Hai góc kề bù tương ứng bằng nhau)

 

Xét $\Delta SCE$ và $\Delta SBF$, ta có:

+  $\widehat{SCE}=\widehat{SBF}\left( cmt \right)$

+  $\widehat{SEC}=\widehat{SFB}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta SCE\backsim\Delta SBF\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{SE}{SF}=\dfrac{CE}{BF}$

Ta có $\Delta SEF$ có phân giác $SG$

Nên $\dfrac{SE}{SF}=\dfrac{GE}{GF}$

Vậy $\dfrac{GE}{GF}=\dfrac{CE}{BF}$

 

2)

Sửa đỉnh, phải là $SDFK$ nội tiếp

Ta có $DA$ là phân giác $\widehat{BDC}$

Nên $\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BDC}$

Tức là $\widehat{KDE}=\dfrac{1}{2}\widehat{FDE}$

 

Ta có $SK$ là phân giác $\widehat{FSE}$

Nên $\widehat{KSE}=\dfrac{1}{2}\widehat{FSE}$

 

Ta có $FDSE$ nội tiếp

Nên $\widehat{FDE}=\widehat{FSE}$ (cùng chắn cung $FE$)

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\widehat{FDE}=\dfrac{1}{2}\widehat{FSE}$

$\Rightarrow \widehat{KDE}=\widehat{KSE}$

$\Rightarrow KDSE$ nội tiếp

$\Rightarrow $4 điểm $K,D,S,E$ cùng thuộc một đường tròn

Mà 4 điểm $F,D,S,E$ cùng thuộc một đường tròn

Nên 5 điểm $K,F,D,S,E$ cùng thuộc một đường tròn

Do đó $SDFK$ nội tiếp

 

3)

Từ $F$, kẻ đường thẳng song song $CD$ cắt $CH$ tại $M$

Theo hệ quả định lý Ta-let, ta có $\dfrac{GE}{GF}=\dfrac{CE}{MF}$

Mà ở câu a đã chứng minh được $\dfrac{GE}{GF}=\dfrac{CE}{BF}$

Nên $MF=BF$

$\Rightarrow \Delta FBM$ cân tại $F$

$\Rightarrow \widehat{FBM}=\widehat{FMB}$

 

Do $MF//CD$

Nên $\widehat{FMG}=\widehat{ECG}$ (hai góc so le trong)

Tức là $\widehat{FMH}=\widehat{DCH}$

Mà $\widehat{DCH}=\widehat{DBH}$ (cùng chắn cung $DH$)

Do đó $\widehat{FMH}=\widehat{DBH}$

Tức là $\widehat{FMH}=\widehat{FBH}$

$\Rightarrow BMHF$ nội tiếp

$\Rightarrow\begin{cases}\widehat{FMB}=\widehat{FHB}\\\widehat{FBM}=\widehat{FHC}\end{cases}$

Mà $\widehat{FMB}=\widehat{FBM}\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{FHB}=\widehat{FHC}$

Do đó $HF$ tia là phân giác $\widehat{BHC}$

 

Do $\Delta ABC$ cân tại $A$

Nên $AB=AC$

$\Rightarrow \overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}$

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$

$\Rightarrow HA$ là tia phân giác $\widehat{BHC}$

 

Vậy $HA\equiv HF$

Tức là ba điểm $A,F,H$ thẳng hàng