Đáp án:

 Bạn tự vẽ hình nhé!!!!!!

Giải thích các bước giải:

1) Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp.

Xét \(\left( {O;\,R} \right)\) ta có: \(AB,\,\,CD\) là hai đường kính của hình tròn

\( \Rightarrow ADBC\) là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = BD\\AD = BC\end{array} \right.\)  (các cạnh đối).

Ta có: \(\angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle BDN = {90^0}(1)\)

Ta có: \(\angle CMN\) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn các cung

\(BC\) và \(AB.\)

\( \Rightarrow \angle CMN = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,AB - sd\,\,cung\,\,CB} \right) = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,BD = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AC.\,\,\left( {do\,\,AC = BD} \right)\)

Lại có: \(\angle ADC\) là góc nội tiếp chắn cung \(AC \Rightarrow \angle ADC = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AC\)

\( \Rightarrow \angle ADC = \angle CMN\,\left( { = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AC} \right).\)

\( \Rightarrow CDNM\) là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (đpcm)

2) Chứng minh \(AC.AM = AN.AN.\)

 Xét   \(\Delta ACD\) và \(\Delta ANM\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle CAD\,\,chung\\\angle AMB = \angle ADC\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ACD \sim \Delta ANM\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AC.AM = AN.AD\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. Chứng minh tứ giác AOIH là hình bình hành. 

Ta có I  là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác MCDN, H là trung điểm của MN

 \( \Rightarrow IH \bot MN\)  (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung).

Mà \(AO \bot MN\) (do AB là đường kính của đường tròn (O), MN là tiếp tuyến tại B của đường tròn)

\( \Rightarrow HI//AO\,\,\left( { \bot MN} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác ta có \(\angle CAD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle ACD + \angle CDA = {90^0}\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Xét \(\Delta MAN\) có \(\angle MAN = {90^0}\), H là trung điểm của MN

\( \Rightarrow AH = \frac{1}{2}MN = MH\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

\( \Rightarrow \Delta AHM\) cân tại H (dhnb)

\( \Rightarrow \angle MAH = \angle HMA\)  (hai góc kề đáy của tam giác cân).

Lại có : \(\angle ACD = \angle CAB\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung AD, CB bằng nhau).

Mà : \(\angle AMH + \angle CAB = {90^0}\) (tam giác ABM vuông tại B)

\( \Rightarrow \angle MAH + \angle ACD = {90^0} \Rightarrow \Delta CAK\)  vuông tại \(K \Rightarrow CD \bot AH = \left\{ K \right\}.\)

Lại có : \(OI \bot CD\,\,\) (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow AH//OI\,\,\left( { \bot CD} \right).\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có :  \(\left\{ \begin{array}{l}AH//OI\\AO//HI\end{array} \right. \Rightarrow AOIH\) là hình bình hành (dhnb). (đpcm)